Непрерывная случайная величина х задана плотностью распределения

DWQA Questions › Непрерывная случайная величина х задана плотностью распределения

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Непрерывная случайная величина х задана плотностью распределения:

$f\left(x\right){\rm =}\left\{ \begin{array}{c} {\rm 0,\ \ \ x}\in \left({\rm -}\infty ;\right.\left.{\rm 4}\right], \\ {\rm a}\left(13x-1\right){\rm ,\ \ \ x}\in \left(4;6\right), \\ 0{\rm ,\ \ \ x}\in \left[{\rm 6};\right.{\rm \ }\left.{\rm +}\infty \right). \end{array} \right.$

Найти:
а) значение a, при котором функция f(x) является плотностью распределения непрерывной случайной величины x;
б) математическое ожидание M[x] и дисперсию D[x];
в) среднеквадратическое отклонение.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения, которую также называют плотностью вероятности или дифференциальной функцией.
Плотность распределения является производной от функции распределения.

Решение.

Найдем параметр a из условия:

$\int^6_4{a\left(13x-1\right)dx}=1;$

${\left.a\left(\frac{13x^2}{2}-x\right)\right|}^6_4=1;$

$a\left(\frac{{13\cdot 6}^2}{2}-6-\left(\frac{{13\cdot 4}^2}{2}-4\right)\right)=1;$

$a\left(\frac{468}{2}-6-\frac{208}{2}+4\right)=1;$

$128a=1;$

$a=\frac{1}{128}.$

Получаем:

$f\left(x\right){\rm =}\left\{ \begin{array}{c} {\rm 0,\ \ \ x}\in \left({\rm -}\infty ;\right.\left.{\rm 4}\right], \\ \frac{\left(13x-1\right)}{128}{\rm ,\ \ \ x}\in \left(4;6\right), \\ 0{\rm ,\ \ \ x}\in \left[{\rm 6};\right.{\rm \ }\left.{\rm +}\infty \right). \end{array} \right.$

Математическое ожидание найдем, подставив известные значения в известную формулу:

$M\left[x\right]=\int^6_4{x\cdot \frac{\left(13x-1\right)}{128}dx}=\int^6_4{\frac{{13x}^2-x}{128}dx}=\frac{1}{128}\int^6_4{\left(13x^2-x\right)dx}=$

$={\left.\frac{1}{128}\cdot \left(\frac{{13x}^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right)\right|}^6_4=\frac{1}{128}\cdot \left(\frac{{13\cdot 6}^3}{3}-\frac{6^2}{2}-\left(\frac{{13\cdot 4}^3}{3}-\frac{4^2}{2}\right)\right)=$

$=\frac{1}{128}\cdot \left(\frac{2808}{3}-\frac{36}{2}-\frac{832}{3}+\frac{16}{2}\right)=\frac{1}{128}\cdot \left(\frac{1976}{3}-\frac{20}{2}\right)=$

$=\frac{1}{128}\cdot \frac{3952-60}{6}=\frac{1}{128}\cdot \frac{3892}{6}==\frac{973}{192}=5\frac{13}{192}$

Найдем дисперсию, подставив найденные значения:

$D\left[x\right]=\int^6_4{x^2\cdot \frac{\left(13x-1\right)}{128}dx-{\left(\frac{973}{192}\right)}^2=}\int^6_4{\frac{\left({13x}^3-x^2\right)}{128}dx-{\left(\frac{973}{192}\right)}^2}=$

$=\frac{1}{128}\cdot \int^6_4{\left({13x}^3-x^2\right)dx-{\left(\frac{973}{192}\right)}^2=\frac{1}{128}\cdot }{\left.\left(\frac{{13x}^4}{4}-\frac{x^3}{3}\right)\right|}^6_4-{\left(\frac{973}{192}\right)}^2=$

$=\frac{1}{128}\cdot \left(\frac{{13\cdot 6}^4}{4}-\frac{6^3}{3}-\left(\frac{13\cdot 4^4}{4}-\frac{4^3}{3}\right)\right)-{\left(\frac{973}{192}\right)}^2=$

$=\frac{1}{128}\cdot \left(\frac{16848}{4}-\frac{216}{3}-\frac{3328}{4}+\frac{64}{3}\right)-{\left(\frac{973}{192}\right)}^2=$

$=\frac{1}{128}\cdot \left(\frac{13520}{4}-\frac{152}{3}\right)-{\left(\frac{973}{192}\right)}^2=\frac{1}{128}\cdot \left(3380-\frac{152}{3}\right)-{\left(\frac{973}{192}\right)}^2=$

$=\frac{1}{128}\cdot \left(\frac{10140-152}{3}\right)-{\left(\frac{973}{192}\right)}^2=\frac{2497}{96}-{\left(\frac{973}{192}\right)}^2=$

$=\frac{92049408-90885984}{3538944}=\frac{1163424}{3538944}=\frac{36357}{110592}=\frac{12119}{36864}$

Найдем среднеквадратическое отклонение:

$s=\sqrt{D\left[x\right]}=\sqrt{\frac{12119}{36864}}=\frac{\sqrt{12119}}{192}$

Ответ. $a=\frac{1}{128}$ ; $M\left[x\right]=5\frac{13}{192}$ ; $D\left[x\right]=\frac{12119}{36864}$ ; $s=\frac{\sqrt{12119}}{192}$ .

Непрерывная случайная величина х задана плотностью распределения

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.