Случайная величина равномерно распределена на отрезке

DWQA Questions › Случайная величина равномерно распределена на отрезке

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить задачу:
Случайная величина равномерно распределена на отрезке [13, 29]. Найти плотность распределения, функцию распределения. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (17, 23).
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Решение.
Вспомним определение случайной величины: она имеет непрерывное распределение на каком-либо отрезке, если ее плотность на этом отрезке удовлетворяет условиям:

$\left\{ \begin{array}{c} \frac{1}{x_2-x_1},\ x\in \left[x_1;x_2\right], \\ 0,\ x\in \left(-\infty ;\ x_1\right)\cup \left(x_2;\ +\infty \right). \end{array} \right.\$

Запишем плотность распределения для условий нашей задачи:

$\left\{ \begin{array}{c} \frac{1}{29-13},\ x\in \left[13;;29\right], \\ 0,\ x\in \left(-\infty ;\ 13\right)\cup \left(29;\ +\infty \right); \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{c} \frac{1}{16},\ x\in \left[13;29\right], \\ 0,\ x\in \left(-\infty ;\ 13\right)\cup \left(29;\ +\infty \right). \end{array} \right.$

Согласно этим условиям можно построить график записанной плотности распределения.
Теперь вспомним определение плотности распределения: плотность распределения выражается с помощью предела частного вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал от x до x+ $\Delta$ x и длины этого интервала $\Delta$ x при $\Delta$ x стремящемся к 0.
Нас будет интересовать тот факт, что плотность распределения равна производной от функции распределения.
Рассчитаем функцию распределения:

$F\left(x\right)=\int^x_{13}{\frac{1}{16}dx}={\left.\frac{x}{16}\right|}^x_{13}=\frac{x}{16}-\frac{13}{16}=\frac{x-13}{16};$

$\left\{ \begin{array}{c} 0,\ x\in \left(-\infty ;\ 13\right), \\ \frac{x-13}{16},\ x\in \left[13;;29\right], \\ 1,\ \cup x\in \left(29;\ +\infty \right). \end{array} \right.$

Рассчитаем вероятность попадания случайной величины в указанный интервал (17, 23).
Для этого подставим в функцию распределения границы указанного интервала:

$P={\left.\frac{x-13}{16}\right|}^{23}_{17}=\frac{23-13}{16}-\frac{17-13}{16}=\frac{10}{16}-\frac{4}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.$

Другим способом вероятность попадания в указанный интервал можно было рассчитать как площадь прямоугольника, где одна сторона равна $\frac{1}{16}$ , а вторая — 23—17=6. Таким образом, площадь, а следовательно и вероятность, равна $\frac{1}{16}\cdot 6=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$ .

Ответ. $\left\{ \begin{array}{c} \frac{1}{16},\ x\in \left[13;29\right], \\ 0,\ x\in \left(-\infty ;\ 13\right)\cup \left(29;\ +\infty \right). \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{c} 0,\ x\in \left(-\infty ;\ 13\right), \\ \frac{x-13}{16},\ x\in \left[13;29\right], \\ 1,\ \cup x\in \left(29;\ +\infty \right). \end{array} \right.$

$P=\frac{3}{8}.$

Случайная величина равномерно распределена на отрезке

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.