Радиус вписанной окружности в ромб
Asya Админ. спросил 7 лет назад
Здравствуйте!
Как вычислить радиус вписанной окружности в ромб? Нужны формулы.
Спасибо!
Asix Админ. ответил 7 лет назад
Радиус вписанной окружности в ромб
Существует свойство окружности, которую можно вписать в четырехугольник. Для этого должно выполняться всего одно условие: сумма одной пары противоположных сторон должна быть равна сумме другой пары противоположных сторон.
Поскольку для ромба это условие выполняется, то окружность можно вписать в любой ромб. Центр вписанной окружности и точка пересечения диагоналей ромба совпадают.
Рассмотрим несколько способов вычисления радиуса вписанной в ромб окружности
1 вариант. Вычислить радиус вписанной окружности через высоту.
Поскольку высота ромба и диаметр вписанной окружности равны, что следует из свойств прямоугольника, образованного диаметром вписанной окружности и высотой ромба.
Запишем формулу радиуса вписанной окружности:
![\[radius=\frac{visota}{2}.\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-506d2c83639874d58f92720566beac99_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2 вариант. Вычислить радиус вписанной окружности через диагонали.
Рассмотрим формулу площади ромба через радиус вписанной окружности:
![\[S_{romba}=\frac{P_{romba}\cdot radius}{2};\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6ddfcd8ead2493e1bdeec0173661d12_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[P_{romba}=4\cdot storona;\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c9f0854b0e78a6535423f763eef7573b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[S_{romba}=\frac{4\cdot storona\cdot radius}{2}=2\cdot storona\cdot radius.\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e050a494c15b7489474f7a4674b7ad1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
С другой стороны площадь ромба можно найти через диагонали:
![\[S_{romba}=\frac{diagonal'1\cdot diagonal'2}{2}.\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8385fc2a88461c9a852f66e0d538dace_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Приравняем правые части записанных формул площадей и получим:
![\[2\cdot storona\cdot radius=\frac{diagonal'1\cdot diagonal'2}{2}.\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0e8b908d11ccc6e71de1102fdbb2dca1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Из этого равенства выразим радиус:
![\[radius=\frac{diagonal'1\cdot diagonal'2}{4\cdot storona}.\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2a80b1e9e266cb71f6ecd82d8e488f19_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
