Привести уравнение к каноническому виду

DWQA Questions › Привести уравнение к каноническому виду

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
На контрольной нужно будет привести уравнение к каноническому виду. Можете помочь с теорией?
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Рассмотрим алгоритм, следуя которому Вы без труда сможете привести уравнение к каноническому виду. Алгоритм будем рассматривать на конкретном примере.
Возьмем уравнение кривой второго порядка $17x^2-14xy+15y^2+81x-29y+19=0$ .

Первое. Анализируем уравнение: если в нем есть слагаемое со смешанным произведением $xy$ , то нужно перейти к другой системе координат, в которой данное уравнение после его преобразования не будет содержать слагаемое $x_1y_1$ .
Переход к другой системе координат выполняется путем поворота системы координат на определенный угол $\tau$ . Таким образом, соответствующие координаты заменяют согласно формул:

$\left\{ \begin{array}{c} x=x_1{\cos \tau\ }-y_1{\sin \tau }, \\ y=x_1{\sin \tau\ }+y_1{\cos \tau }. \end{array} \right.$

Этот угол можно вычислить с помощью уравнения:

$tg\ \left(2 \tau\right)=\frac{2\cdot \left(koef.\ \ pered\ xy\right)}{\left(koef.\ pered\ x^2-koef.\ pered\ y^2\right)}.$

После нахождения тангенса необходимо найти значение синуса и косинуса, которые и нужны для формулы. Сделать это можно, воспользовавшись формулами:

${\sin \tau\ }=\pm \frac{tg\ \tau}{\sqrt{1+{tg}^2 \tau}}, {\cos \tau }=\pm \frac{1}{\sqrt{1+{tg}^2 \tau}}.$

Второе. После преобразований получаем уравнение, в котором как минимум на одно слагаемое меньше (исчезает слагаемое с $xy$ ).
Далее для каждой переменной, которая имеет ненулевые коэффициенты при переменной в квадрате и в первой степени нужно выделить полный квадрат и заменить его новой переменной. Затем переписывают уравнение с использованием новых переменных. После таких преобразований получается уравнение следующего вида:

Третье.
Необходимо избавиться от коеффициентов возле квадратов переменных путем деления уравнения на произведение $k_1k_2$ .
Таким образом получается каноническое уравнение, по которому можно определить тип кривой.

Привести уравнение к каноническому виду

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.