Постройте график функции y = x^3-x^2

DWQA Questions › Постройте график функции y = x^3-x^2

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
В задании сказано:
«Постройте график функции y = x^3 – x^2».
Помогите, пожалуйста, выполнить. Очень нужно подробное объяснение!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задание.

Постройте график функции y = x^3 — x^2.

Решение.

Для данного уравнения функции ограничений никаких нет, ни для аргумента, ни для самой функции. Другими словами функция может существовать для любого значения переменной х.
В таком случае вместо этой переменной можно подставить любое значение, найти для него соответствующее значение функции и получить координату точки, через которую пройдет график функции. Такой метод называется методом подбора координат точек. Но в уравнении стоит переменная х в кубе, что тянет за собой несколько необычное поведение функции. Поэтому мы вынуждены выполнить некоторый анализ этого поведения.
Найдем первую производную функции, чтобы узнать на каких промежутках функция будет возрастать или же убывать:

$y'=3x^2-2x$

Приравняем ее к нулю и решим уравнение:

$3x^2-2x=0$

$x=0$ или $x=\frac{2}{3}$
Найдем знак производной на полученных трех промежутках и выясним поведение функции на них:
$y'\left(-1\right)=3\cdot {\left(-1\right)}^2-2\cdot \left(-1\right)>0$ — функция возрастает
$y'\left(\frac{1}{2}\right)=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-2\cdot \frac{1}{2}<0$ — функция убывает
$y'\left(1\right)=3\cdot 1^2-2\cdot 1>0$ — функция возрастает
Рассчитаем значение функции в точке максимума и минимума:
$y\left(0\right)={\left(0\right)}^3-{\left(0\right)}^2=0$ — точка максимума (0; 0)
$y\left(\frac{2}{3}\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^3-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{8}{27}-\frac{4}{9}=-\frac{4}{27}$ — точка минимума $\left(\frac{2}{3};;\ -\frac{4}{27}\right)$
Найдем точки перегиба функции, вычислив вторую производную:

$y''=6x-2$

$6x-2=0$

$x=\frac{1}{3}$

Найдем значение функции для найденного х:

$y\left(\frac{1}{3}\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^3-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{27}-\frac{1}{9}=-\frac{2}{27}$

$\left(\frac{1}{3};\ -\frac{2}{27}\right)$ — точка перегиба.
Осталось найти точки пересечения с координатными осями и построить график.
Пересечение с осью Ох будем искать, приравняв функцию к нулю:

$x^3-x^2=0$

$x^2\left(x-1\right)=0$

$x=0$ или $x=1$

$y\left(0\right)=0^3-0^2=0$

$y\left(1\right)=1^3-1^2=0$

Пересечение с осью Оу будем искать, подставив вместо х значение 0. Но для такого значение выше уже были произведены расчеты, поэтому точками пересечения с координатными осями будут:
(0; 0) и (1; 0).

Постройте график функции y = x^3-x^2

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.