Пользуясь определением выведите формулу дифференцирования функции

DWQA Questions › Пользуясь определением выведите формулу дифференцирования функции

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!

Нужно выполнить такое задание:

«Пользуясь определением выведите формулу дифференцирования функции $y=\frac{71}{13x^3}$ ». Помогите, пожалуйста!

Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Для решения задания пользуясь определением вывести формулу дифференцирования функции необходимо записать саму функцию от переменной х, также функцию от $\left(x+\triangle x\right)$ и знать основные правила вычисления пределов функции.
Вспомним определение производной:
Производной функции y(x) при заданном значении x называют предел частного приращения функции и приращения аргумента, причем приращение аргумента должно стремиться к нулю.
Обратим внимание, что такой предел должен существовать, то есть должен быть конечным.

Пример 1.
Выведем формулу дифференцирования функции $y=\frac{71}{13x^3}$ , используя определение дифференциала.

Решение.
Запишем необходимые функции:

$y\left(x\right)=\frac{71}{13x^3};$

$y\left(x+\triangle x\right)=\frac{71}{13{\left(x+\triangle x\right)}^3}.$

Теперь, пользуясь определением производной функции, запишем:

$y^'={\mathop{\lim }_{\triangle x\to 0} \frac{y\left(x+\triangle x\right)-y\left(x\right)}{\triangle x}\ }={\mathop{\lim }_{\triangle x\to 0} \frac{\frac{71}{{13\left(x+\triangle x\right)}^3}-\frac{71}{13x^3}}{\triangle x}\ }=$

$={\mathop{\lim }_{\triangle x\to 0} \frac{{71\cdot 13x}^3-71\cdot {\left(x+\triangle x\right)}^3}{\triangle x\cdot {\left(x+\triangle x\right)}^3\cdot {13x}^3}\ }=\frac{71}{{13x}^6}{\mathop{\lim }_{\triangle x\to 0} \frac{13x^3-{\left(x+\triangle x\right)}^3}{\triangle x}\ }=$

$=\frac{71}{13x^6}{\mathop{\lim }_{\triangle x\to 0} \frac{12x^3-3x^2\triangle x-3x{\left(\triangle x\right)}^2-{\left(\triangle x\right)}^3}{\triangle x}\ }=\frac{71}{13x^6}\cdot \left(-3x^2\right)=$

$=-\frac{213}{13x^4}.$

Ответ. $y^'=-\frac{213}{13x^4}$ .

Чтобы избежать ошибок в вычислении предела, можно проверить себя путем вычисления производной от заданной функции обычным способом, с помощью таблицы производных.
Для этого берем заданную функцию $y=\frac{71}{13x^3}$ и находим ее производную, используя правила нахождения производных и их свойства:

$y^'={\left(\frac{71}{13x^3}\right)}^'=$

Можем вынести постоянный множитель за знак производной:

${=\frac{71}{13}\left(\frac{1}{x^3}\right)}^'=\frac{71}{13}{\left(x^{-3}\right)}^'=\frac{71}{13}\cdot \left(-3\right)\cdot x^{-4}=-\frac{213}{13x^4}.$

Наши решения сходятся, следовательно, выведение формулы дифференцирования функции было выполнено правильно.

Пользуясь определением выведите формулу дифференцирования функции

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.