Площадь треугольника через синус угла

DWQA Questions › Площадь треугольника через синус угла

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Нужно найти площадь треугольника через синус угла. Какие есть формулы и, если можно, пример расчета.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Площадь треугольника через синус угла
Рассматривать возможные формулы будем на примере построенного произвольного треугольника с обозначенными сторонами и углами.

Если по условию задачи заданы две стороны треугольника и угол между этими же сторонами, то удобно использовать следующие формулы площади треугольника:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot {\sin \gama\ }$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot {\sin \beta\ }$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot {\sin \alpha\ }$

Рассмотрим пример расчета с помощью этой формулы.

Задача.
Известны стороны треугольника 3 см и 4 см, а также угол между ними 30 градусов. Найти площадь этого треугольника.

Решение.
Используем одну из выше рассмотренных формул:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot {\sin \gama\ }$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot {\sin 30{}^\circ \ }$

Чтобы найти синус 30 градусов, можно воспользоваться таблицей синусов. Получим:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=3$ (кв. см)

Ответ. 3 кв. см.

Если же по условию задана одна из сторон и два угла, то изначально необходимо вычислить третий угол, используя свойство углов треуг-ника:

$\alpha=180-\left(\beta+\gama\right)$

$\beta=180-\left(\alpha+\gama\right)$

$\gama=180-\left(\alpha+\beta\right)$

В таком случае площадь треуг-ника можно найти как 1/2 от квадрата стороны, умноженного на дробь, c перемноженными sin-ми прилежащих к стороне углов в числителе и sin-ом третьего угла — в знаменателе. Формулы будут выглядеть следующим образом:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot \frac{{\sin \beta\ }\cdot {\sin \gama\ }}{{\sin \alpha\ }}$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot b^2\cdot \frac{{\sin \alpha\ }\cdot {\sin \gama\ }}{{\sin \beta\ }}$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot c^2\cdot \frac{{\sin \alpha\ }\cdot {\sin \beta\ }}{{\sin \gama\ }}$

Площадь треугольника через синус угла

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.