Написать уравнение касательной к графику функции

DWQA Questions › Написать уравнение касательной к графику функции

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Доброго времени суток!
При каких условиях можно написать уравнение касательной к графику функции? Какие есть типичные варианты?
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Существует 3 основных варианта задач, в которых необходимо написать уравнение касательной.
Первый вариант – дана точка касания A(x; y).
Второй вариант – известен коэффициент наклона касательной, другими словами значение производной заданной функции y=f(x) в точке A(x; y).
Третий вариант – заданы координаты точки, через которую проходит касательная, но она не является точкой касания.
Рассмотрим задачи, которые представляют эти варианты.

Написать уравнение касательной к графику функции $y=23x^4-7x^2+13$ в точке A(1; 29).

а) Значение функции в точке A(1; 29):
y(1)=29 – согласно условию.
б) Рассчитаем значение производной в заданной, изначально вычислив производную функции у:

$y'=92x^3-14x;$

$y'(1)=92\cdot1^3-14\cdot1=92-14=78.$

Подставим данные значения в уравнение касательной:

$y=y(1)+y'(1)(x-1)=29+78(x-1)=78x-49.$

Ответ. $y=78x-49$ .

Написать уравнение прямой, которая является касательной к кривой $y=15-x^2$ и проходит через точку M(2; 3).

а) Сначала выполним проверку, является ли точка M(2; 3) точкой касания. Для этого подставим ее координаты в уравнение функции:

$y(2)=15-2^2=11\neq3.$

Получили неверное равенство, что приводит к выводу: точка M(2; 3) не является точкой касания.
б) Найдем абсциссу точки касания а.
По условию точка M(2; 3) должна лежать на касательной к графику функции $y=15-x^2$ . То есть если подставить ее координаты в уравнение касательной, то должно получиться правильное равенство:

$3=y(a)+y'(a)(a-2).$

Значение функции $y=15-x^2$ в точке a равно $y(a)=15-a^2$ .
Для нахождения значения производной функции $y=15-x^2$ в точке а вычислим производную данной функции: