На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы АВВ1А2

DWQA Questions › На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы АВВ1А2

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы АВВ1А2, ACC2A1 и ВСС1В2. Докажем, что существует треугольник со сторонами, соответственно параллельными и равными отрезкам А1А2, C1C2 и В1В2.
Как решать эту задачу? Помогите!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задача.
На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы АВВ1А2, ACC2A1 и ВСС1В2. Докажем, что существует треугольник со сторонами, соответственно параллельными и равными отрезкам А1А2, C1C2 и В1В2.
Разберем условие.
Даны параллелограммы АВВ1А2, АСС2А1 и ВСС1В2.
Нужно доказать, что существует такой треугольник, у которого стороны являются параллельными и равными соответственно сторонам А1А2, С1С2 и В1В2.
Построим треугольник АВС.
На его стороне АВ построим параллелограмм АВВ1А2, у которого сторона В1А2 равна стороне АВ.
На стороне АС построим параллелограмм АСС2А1, у которого сторона С2А1 равна стороне АС.
На стороне ВС построим параллелограмм ВСС1В2, у которого сторона В2С1 равна стороне ВС.

Доказательство.
Докажем, что $\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{C_2C_1}+\overrightarrow{B_2B_1}$ .
Из треугольника АА1А2 по правилу треугольника получим:

$\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AA_2}.$

Из равенства противоположных сторон параллелограмма можем записать:

$\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AA_2}=\overrightarrow{C_2C}+\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{C_2C_1}+\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{BB_2}+\overrightarrow{B_2B_1}=$

$=\overrightarrow{C_2C_1}+-\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{BB_2}+\overrightarrow{B_2B_1}=\overrightarrow{C_2C_1}+\overrightarrow{B_2B_1}.$

Мы получили равенство:

$\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{C_2C_1}+\overrightarrow{B_2B_1},$

а это значит, что можно построить треугольник, который имеет стороны параллельные и равные соответственно сторонам $\overrightarrow{A_1A_2}$ , $\overrightarrow{C_1C_2}$ и $\overrightarrow{B_1B_2}$ .
Доказательство завершено.

На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы АВВ1А2

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.