Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника

DWQA Questions › Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Нужно рассмотреть и доказать утверждение: «Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника». Помогите, пожалуйста!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Рассмотрим утверждение:
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Равновеликими называют треугольники, у которых площади одинаковые.

То есть медианой площадь треугольника делится пополам.

Докажем данное утверждение.

Доказательство.
Рассмотрим треугольник СМТ. Медиана данного треугольника МК делит сторону СТ пополам (согласно свойству медианы).
Докажем, что площади двух треугольников СМК и КМТ, на которые разбивает медиана МК заданный треугольник СМТ, равны между собой.
Воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{\triangle CMK}=\frac{1}{2}\cdot CK\cdot MK\cdot {\sin \angle CKM\ };$

$S_{\triangle KMT}=\frac{1}{2}\cdot KT\cdot MK\cdot {\sin \angle TKM\ }.$

Углы $\angle CKM$ и $\angle TKM$ являются смежными, поэтому $\angle CKM+\angle TKM=180{}^\circ$ .
По свойству синуса ${\sin \left(180{}^\circ -x\right)\ }={\sin x\ }$ , тогда

${\sin \angle CKM\ }={\sin \left(180{}^\circ -\angle TKM\right)\ }={\sin \angle TKM\ }.$

СК=КТ согласно свойству медианы МК треугольника СМТ.
Запишем формулы площадей рассматриваемых двух треугольников с новыми данными, получим:

$S_{\triangle CMK}=\frac{1}{2}\cdot CK\cdot MK\cdot {\sin \angle CKM\ }=\frac{1}{2}\cdot KT\cdot MK\cdot {\sin \angle TKM\ }.$

Обратим внимание, что мы получили формулу для нахождения площади треугольника КМТ.

$S_{\triangle CMK}=\frac{1}{2}\cdot KT\cdot MK\cdot {\sin \angle TKM\ }=S_{\triangle KMT}.$

То есть площади треугольников СМК и КМТ, на которые делит медиана МК треугольник СМТ, равны:

$S_{\triangle CMK}=S_{\triangle KMT}.$

Утверждение доказано.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.