Как найти смешанное произведение векторов

DWQA Questions › Как найти смешанное произведение векторов

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Хочу разобраться как найти смешанное произведение векторов, но пока попытки не увенчались успехом. Приходится обращаться к Вам за помощью!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Чтобы разобрать вопрос как найти смешанное произведение векторов, сначала ознакомимся с формулой его нахождения, а затем на примере попробуем сделать это практически.
Для нахождения смешанного произведения рассмотрим формулу на примере трех векторов, которые заданы координатами в пространств.
Вычисление смешанного произведения сводится к вычислению определителя, который составлен из соответствующих координат векторов, записанных в строки.
Смешанное произведение $\overrightarrow{v_1}$ , $\overrightarrow{v_2}$ и $\overrightarrow{v_3}$ обозначается и находится так:

$\left(\overrightarrow{v_1},\ \overrightarrow{v_2},\ \overrightarrow{v_3}\right)=\left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{array} \right|$

Для того, чтобы можно было воспользоваться этой формулой, нужно лишь помнить правила нахождения определителей.
Рассмотрим на примере.

Пример 1.
Вычислим смешанное произведение $\overrightarrow{v_1}=\left(-7,\ 11,\ -7\right)$ , $\overrightarrow{v_2}=\left(13,\ 17,\ -13\right)$ , $\overrightarrow{v_3}=\left(-19,\ 23,\ 19\right)$ .

Решение.
Чтобы найти смешанное произведение данных векторов в формулу подставим известные координаты этих векторов:

$\left(\overrightarrow{v_1},\ \overrightarrow{v_2},\ \overrightarrow{v_3}\right)=\left| \begin{array}{ccc} -7 & 11 & -7 \\ 13 & 17 & -13 \\ -19 & 23 & 19 \end{array} \right|.$

Теперь вычислим определитель, используя правило треугольника:

$\left(\overrightarrow{v_1},\ \overrightarrow{v_2},\ \overrightarrow{v_3}\right)=\left| \begin{array}{ccc} -7 & 11 & -7 \\ 13 & 17 & -13 \\ -19 & 23 & 19 \end{array} \right|=\left(-7\right)\cdot 17\cdot 19+11\cdot \left(-13\right)\cdot \left(-19\right)+$

$+13\cdot 23\cdot \left(-7\right)-\left(-7\right)\cdot 17\cdot \left(-19\right)-11\cdot 13\cdot 19-\left(-13\right)\cdot 23\cdot \left(-7\right)=$

$=-2261+2717-2093-2261-2717-2093=-8708$

Ответ. $\left(\overrightarrow{v_1},\ \overrightarrow{v_2},\ \overrightarrow{v_3}\right)=-8708$ .

Таким образом, чтобы найти смешанное произведение каких-либо векторов достаточно знать их координаты и уметь находить определитель (в принципе, любым способом, не обязательно методом треугольника).

Как найти смешанное произведение векторов

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.