Смешанное произведение векторов

Определение и формула смешанного произведения векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Смешанным произведением $\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)$ трех векторов $\bar{a},\; \bar{b}$ и $\bar{c}$ называется число, равное скалярному произведению вектора $\bar{a}$ на векторное произведение векторов $\bar{b}$ и $\bar{c}$ :

$\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left(\bar{a},\; \left[\bar{b},\; \bar{c}\right]\right)$

Если векторы $\bar{a},\; \bar{b}$ и $\bar{c}$ заданы своими координатами: $\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right),\ \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right)$ и $\bar{c}=\left(c_{1} ;\; c_{2} ;\; c_{3} \right)$ , то их смешанное произведение равно определителю матрицы, составленной из этих векторов:

$\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$

ПРИМЕР

Задание	Найти смешанное произведение векторов $\bar{a}=\left(1;\; 2;\; 3\right),\ \bar{b}=\left(1;\; 1;\; 1\right),\ \bar{c}=\left(1;\; 2;\; 1\right)$
Решение	Для нахождения смешанного произведения составляем определитель, по строкам которого записаны координаты заданных векторов: $\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left\|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right\|=1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 1\cdot 1-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-1\cdot 2\cdot 1=2$
Ответ	$\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=2$

Свойства смешанного произведения векторов

1. Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения трех векторов $\bar{a},\; \bar{b}$ и $\bar{c}$ равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:

$V_{parall} =\left|\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)\right|$

ЗАМЕЧАНИЕ

Объем пирамиды, образованной тремя векторами $\bar{a},\; \bar{b}$ и $\bar{c}$ , равен одной шестой модуля смешанного произведения этих векторов:

$V_{pyr} =\frac{1}{6} \left|\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)\right|$

2. Если смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы компланарны.

3. $\left(\bar{a},\; \bar{b},\; c\right)=\left(\bar{b},\; \bar{a},\; \bar{c}\right)-\left(\bar{c},\; \bar{a},\; \bar{b}\right)$ .

ЗАМЕЧАНИЕ

Мнемоническое правило для запоминания этой формулы: смешанное произведение $\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)$ трех векторов $\bar{a},\; \bar{b}$ и $\bar{c}$ равно «бац минус цаб».

4. $\left(\bar{a},\; \left[\bar{b},\; \bar{c}\right]\, \right)=\left(\bar{c},\; \left[\bar{a},\; \bar{b}\right]\, \right)=-\left(\bar{a},\; \left[\bar{c},\; \bar{b}\right]\, \right)=-\left(\bar{b},\; \left[\bar{a},\; \bar{c}\right]\, \right)=-\left(\bar{c},\; \left[\bar{b},\; \bar{a}\right]\, \right)$ .

5. Тождество Якоби:

$\left(\bar{a},\; \left[\bar{b},\; \bar{c}\right]\, \right)+\left(\bar{b},\; \left[\bar{c},\; \bar{a}\right]\, \right)+\left(\bar{c},\; \left[\bar{a},\; \bar{b}\right]\, \right)=0$

ПРИМЕР

Задание

Найти объем пирамиды построенной на векторах $\bar{a}=\left(1;\; 0;\; 1\right),\ \bar{b}=\left(-1;\; 2;\; 3\right),\ \bar{c}=\left(0;\; 1;\; -2\right)$

Решение

Объем пирамиды, построенной на векторах $\bar{a},\; \bar{b}$ и $\bar{c}$ , равен одной шестой модуля смешанного произведения этих векторов:

$V_{pyr} =\frac{1}{6} \left|\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)\right|$

Поэтому вначале найдем смешанное произведение заданных векторов. Для этого составим определитель, по строкам которого записаны координаты векторов $\bar{a},\; \bar{b}$ и $\bar{c}$ , и вычислим его, например, по правилу треугольника:

$\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{array}\right|=1\cdot 2\cdot \left(-2\right)+\left(-1\right)\cdot 1\cdot 1+0\cdot 3\cdot 0-0\cdot 2\cdot 1-1\cdot 3\cdot 1-\left(-1\right)\cdot 0\cdot \left(-2\right)=-8$

Тогда искомый объем

$V_{pyr} =\frac{1}{6} \cdot \left|-8\right|=\frac{8}{6} =\frac{4}{3}$ (куб. ед.).

Ответ

$V_{pyr} =\frac{4}{3}$ (куб. ед.)

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Смешанное произведение векторов

Определение и формула смешанного произведения векторов

Свойства смешанного произведения векторов