Как найти медиану треугольника

DWQA Questions › Как найти медиану треугольника

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Объясните, пожалуйста, как найти медиану треугольника. Есть какая-то специальная формула?
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Медиану треугольника можно найти по его сторонам. Причем для этого не является необходимым запоминать формулу. Нужно лишь быть знакомым с алгоритмом решения.
Рассмотрим общий случай решения задачи.

Задача.
Обозначим стороны треугольника $st_1$ , $st_2$ , $st_3$ . Найдем медиану, которая проведена к стороне $st_3$ .

Решение.
Пусть дан треугольник $KMP$ , причем $KM=st_1$ , $MP= st_2$ , $KP= st_3$ .
Построим медиану $MO$ . Согласно свойству медианы $KO=OP$ .
Продлим медиану $MO$ и на ее продолжении отложим отрезок $OB=MO$ . Полученный конец отрезка $B$ соединим с точками $K$ и $P$ .
В результате построения получили четырехугольник $KMPB$ , который является параллелограммом (согласно признаку), так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Согласно свойству диагоналей параллелограмма сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов его сторон.
Запишем:

${KP}^2+{MB}^2=2\left({KM}^2+{MP}^2\right);$

${\left(st\_3\right)}^2+{MB}^2=2\left({\left(st\_1\right)}^2+{\left(st\_2\right)}^2\right);$

${MB}^2=2\left({\left(st\_1\right)}^2+{\left(st\_2\right)}^2\right)-{\left(st\_3\right)}^2.$

При построении $MO=\frac{MB}{2}$ , тогда
$MB=\frac{1}{2}\sqrt{2\left({\left(st\_1\right)}^2+{\left(st\_2\right)}^2\right)-{\left(st\_3\right)}^2}$ — медиана треугольника.

Пример.
У треугольника стороны равны 17 см, 19 см и 29 см. Найдем медиану этого треугольника, которая проведена к его наибольшей по длине стороне.

Решение.
Воспользуемся формулой для расчета длины медианы и подставим в нее известные значения:

$MB=\frac{1}{2}\sqrt{2\left({\left(st\_1\right)}^2+{\left(st\_2\right)}^2\right)-{\left(st\_3\right)}^2};$

$MB=\frac{1}{2}\sqrt{2\left({17}^2+{19}^2\right)-{29}^2};$

$MB=\frac{1}{2}\sqrt{2\left(289+361\right)-841};$

$MB=\frac{1}{2}\sqrt{459};;$

$MB\approx 10,7$ (см).

Ответ. $MB\approx 10,7$ (см).

Как найти медиану треугольника

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.