Как надо изменить расстояние между материальными точками?

DWQA Questions › Как надо изменить расстояние между материальными точками?

0 +1 -1

Alex Админ. спросил 7 лет назад

Помогите, пожалуйста, решить задачу: Какова работа ( $A$ ) сил поля гравитации Земли, если тело, имеющее массу $m$ , перемещают из точки $r_1=aR$ в точку $r_2=bR$ , где $R$ — радиус Земли; $a$ и $b$ — постоянные величины? Как надо изменить расстояние между материальными точками (не изменяя расстояние $r_1$ ) для того, чтобы работа сил поля увеличилась в два раза? Ускорение свободного падения около поверхности Земли считать равным $g$ .

1 ответ

0 +1 -1

Fizik Админ. ответил 7 лет назад

Гравитационные силы — это консервативные силы, следовательно, их работа совершается за счет уменьшения потенциальной энергии ( $E_p$ ) (потенциальная энергия рассматривается для системы: тело массы $m$ – Земля ( $M$ )):

$A=E_{p1}- E_{p2}(1).$

Примем то, что потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли на бесконечно большом расстоянии равна нулю, тогда:

$E_p=-G \frac{mM}{r}(2),$

где $M$ — масса Земли. В таком случае выражение для работы (1) преобразуем к виду:

$A=-G \frac{mM}{r_1}+G \frac{mM}{r_2} (3).$

Подставим из условия задачи расстояния $r_1$ и $r_2$ , имеем:

$A=-G \frac{mM}{aR}+G \frac{mM}{bR}= G\frac{mM}{R}(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}) (4).$

Зная, что ускорение свободного падения около поверхности Земли равно:

$g=G\frac{M}{R^2} (5).$

Формулу (4) преобразуем к виду:

$A=mgR(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}) (5).$

Теперь перейдем к вопросу: «Как надо изменить расстояние между материальными точками для того, чтобы работа сил поля увеличилась в два раза?» (Будем искать во сколько раз нужно изменить расстояние между точками расположения тела массы $m$ ). Применяя выражение для работы (5) запишем:

$A_1=mgR(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}) (6).$

$A_2=mgR(\frac{1}{x}-\frac{1}{a}) (7).$

По условию: $\frac {A_2}{A_1}=2$ , найдем отношение правых частей выражений (7) и (6):

$\frac {A_2}{A_1}=\frac {mgR(\frac{1}{x}-\frac{1}{a})}{mgR(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})}=\frac {(\frac{1}{x}-\frac{1}{a})}{(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})}=\frac {b(a-x)}{x(a-b)}=2 (8).$

Выразим из (8) величину $x$ , получим:

$ab-xb=2x(a-b)=2xa-2xb\rightarrow ab=2xa-xb\rightarrow x=\frac{ab}{2a-b}.$

Для ответа на вопрос: «Как надо изменить расстояние между материальными точками для того, чтобы работа сил поля увеличилась в два раза?» найдем отношение $\frac{x}{b}$ :

$\frac{x}{b}=\frac{a}{2a-b}.$

Ответ: 1) $A=mgR(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})$ ; 2) $\frac{x}{b}=\frac{a}{2a-b}.$

Как надо изменить расстояние между материальными точками?

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.