Докажите что середины сторон произвольного четырехугольника являются

DWQA Questions › Докажите что середины сторон произвольного четырехугольника являются

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Задание звучит следующим образом:
«Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма».
Помогите, пожалуйста, доказать!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Дан четырехугольник MNKF. Точками Z, H, P, S его стороны делятся пополам. Необходимо доказать, что четырехугольник ZHPS — параллелограмм.

Доказательство.
Рассмотрим треугольники FMN и SMN.
У треугольников угол М — общий (по условию), а боковые стороны относятся 1:2, то есть:

$\frac{MS}{MF}=\frac{MZ}{MN}=\frac{1}{2}.$

Из этих двух условий следует, что треугольники FMN и SMN — подобные по двум сторонам и углу между этими сторонами. А если треугольники подобные, то прямые SZ и FN — параллельные и $SZ=\frac{1}{2}FN$ .

Рассмотрим треугольник FNK.
В нем отрезок НР соединяет середины сторон NK и KF, а это значит, что НР является средней линией данного треугольника. Следовательно, отрезок НР и основание треугольника FNK сторона FN — параллельные, и $HP=\frac{1}{2}FN$ .

Из всего, что мы получили выше, имеем:
Так как $SZ=\frac{1}{2}FN$ и $HP=\frac{1}{2}FN$ получаем, что $SZ=HP$ .
Так как прямая SZ параллельна прямой FN, а также прямая НР параллельна прямой FN, то согласно свойству параллельных прямых прямые SZ и НР — параллельны.
Мы получили четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны. А согласно признак такой четырехугольник является параллелограммом. Что и требовалось доказать.
Доказательство завершено.

Докажите что середины сторон произвольного четырехугольника являются

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.