9 ^ sinx + 9 ^ (–sinx) = 10 / 3

DWQA Questions › 9 ^ sinx + 9 ^ (–sinx) = 10 / 3

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить уравнение:
9 ^ sin x + 9 ^ (-sin x) = 10 / 3.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задание.
Решить уравнение:
9 ^ sin x + 9 ^ (-sin x) = 10 / 3.

Решение.
Запишем заданное уравнение:

$9^{{\sin x\ }}+9^{-{\sin x\ }}=\frac{10}{3}.$

Избавимся от отрицательного знака в степени второго слагаемого:

$9^{{\sin x\ }}+\frac{1}{9^{{\sin x\ }}}=\frac{10}{3}.$

В таком случае удобно сделать замену на какую-либо переменную одного члена уравнения:

$z=9^{{\sin x\ }}.$

Тогда уравнение примет вид:

$z+\frac{1}{z}=\frac{10}{3}.$

Избавимся от дробей в уравнении, умножив все его члены на 3z:

$3z^2+3=10z.$

Теперь можно решить полученное квадратное уравнение:

$3z^2-10z+3=0.$

Найдем дискриминант:

$D={10}^2-4\cdot 3\cdot 3=64;$

$z_1=\frac{10-8}{2\cdot 3}=\frac{1}{3};$

$z_2=\frac{10+8}{2\cdot 3}=3.$

Вернемся от замены к исходным переменным и решим последовательно оба получившихся уравнения.
Уравнение первое:

$9^{{\sin x\ }}=\frac{1}{3}.$

Приведем обе части уравнения к одинаковому основанию:

${\left(3^2\right)}^{{\sin x\ }}=3^{-1}.$

Если основания равны, то равны и показатели степеней. Получим уравнение:

$2{\sin x\ }=-1.$

Решением данного простого тригонометрического уравнения будет:

$x={\left(-1\right)}^{t+1}\cdot \frac{\pi}{6}+\pi t.$

Уравнение второе:

$9^{{\sin x\ }}=3.$

Приведем обе части уравнения к одинаковому основанию:

${\left(3^2\right)}^{{\sin x\ }}=3^1.$

Если основания равны, то равны и показатели степеней. Получим уравнение:

$2{\sin x\ }=1.$

Решением данного простого тригонометрического уравнения будет:

$x={\left(-1\right)}^t\cdot \frac{\pi}{6}+\pi t.$

Ответ. $x={\left(-1\right)}^t\cdot \frac{\pi}{6}+\pi t$ , $x={\left(-1\right)}^{t+1}\cdot \frac{\pi}{6}+\pi t$ , t — любое целое число.