Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Квадратные уравнения

Определение и формула квадратного уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение вида ax^{2} +bx+c=0 \ (1) называется квадратным уравнением.

Изучению квадратных уравнений были посвящены труды ученых древности, тому свидетельством являются найденные древние вавилонские глиняные таблички (1800-1600 г.г. до н.э.). На них представлены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Древнеиндийский математик Баудхаяма в 8 веке до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax^{2} =c и ax^{2} +bx=c, а также привел их решения.

Вавилонские математики примерно с 4 века до н.э. и китайские математики примерно со 2 века до н.э. использовали метод дополнения (выделения полного) квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. древнегреческий математик Евклид (\approx 325 г. до н.э.-\approx 265 г. до н.э.) придумал более общий геометрический метод решения таких уравнений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число D=b^{2} -4ac называется дискриминантом квадратного уравнения.

В зависимости от знака дискриминанта квадратное уравнение может иметь различное количество корней как действительных, так и комплексных.

Примеры решения квадратных уравнений

Случай 1. Если дискриминант D>0, то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня, которые находятся по формулам:

    \[x_{1,\; 2} =\frac{-b\pm \sqrt{D} }{2a} \]

ПРИМЕР 1
Задание Решить уравнение x^{2} +x-6=0.
Решение Для заданного уравнения коэффициенты a=b=1,\; c=-6. Вычислим дискриминант:

    \[D=b^{2} -4ac=1^{2} -4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25=5^{2} >0\]

Поскольку дискриминант положителен, то делаем вывод, что рассматриваемое квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

    \[x_{1,\; 2} =\frac{-b\pm \sqrt{D} }{2a} =\frac{-1\pm \sqrt{25} }{2\cdot 1} =\frac{-1\pm 5}{2} =\left[\begin{array}{l} {2,} \\ {-3.} \end{array}\right \]

Ответ x_{1} =2,\; x_{2} =-3.

Случай 2. Если дискриминант D=0, то квадратное уравнение (1) имеет два совпадающих действительных корня (или корень кратности два), который вычисляется по формуле:

    \[x_{1,\; 2} =\frac{-b}{2a} \]

ПРИМЕР 2
Задание Найти корни квадратного уравнения 9x^{2} -6x+1=0.
Решение Вычислим дискриминант:

    \[D=\left(-6\right)^{2} -4\cdot 9\cdot 1=36-36=0\]

Так как дискриминант равен нулю, то, следовательно, квадратное уравнение имеет двукратный корень

    \[x_{1,\; 2} =\frac{-\left(-6\right)}{2\cdot 9} =\frac{6}{18} =\frac{1}{3} \]

Ответ x_{1,\; 2} =\frac{1}{3}.

Случай 3. Если дискриминант D<0, то уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:

    \[x_{1,\; 2} =\frac{-b\pm \sqrt{\left|D\right|} i}{2a}\]

где i называется мнимой единицей, удовлетворяющей соотношению i^{2} =-1.

ПРИМЕР 3
Задание Решить уравнение x^{2} +3x+3=0.
Решение Дискриминант уравнения

    \[D=3^{2} -4\cdot 1\cdot 3=9-12=-3<0\]

Так как дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней:

    \[x_{1,\; 2} =\frac{-3\pm \sqrt{3} i}{2\cdot 1} =\frac{-3\pm \sqrt{3} i}{2} \]

Ответ x_{1,\; 2} =\frac{-3\pm \sqrt{3} i}{2}.
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.