2 sin 2x / 2 + 2 cos x / 2 = 2 решение

DWQA Questions › 2 sin 2x / 2 + 2 cos x / 2 = 2 решение

0 +1 -1

Olya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите мне разобраться с таким тригонометрическим уравнением: 2 sin 2x / 2 + 2 cos x / 2 = 2 решение
Заранее спасибо Вам за помощь в этом нелёгком деле, хотя на первый взгляд здесь нет ничего сложного!

1 ответ

0 +1 -1

Smartstudent Админ. ответил 7 лет назад

Доброй ночи!
Спасибо за обращение к нам! Давайте попробуем помочь Вам в выполнении задания: 2 sin 2x / 2 + 2 cos x / 2 = 2 решение.
Итак, у нас есть уравнение:

$\frac{2 sin 2x}{2} + \frac{2 cos x}{2} = 2$

Первым делом мы подведём левую часть уравнения под общий знаменатель, что сделать очень легко, так как он одинаковый. И мы получим:

$\frac{2 sin 2x + 2 cos x}{2} = 2$

Теперь вынесем 2(двойку), так как она общая, за скобки:

$\frac{2 (sin 2x + cos x)}{2} = 2$

Двойки сокращаются:

$sin 2x + cos x = 2$

Разложим с Вами один член уравнения по формуле тригонометрии:

$sin 2x = 2 * sin x * cos x$

Подставим это в наше уравнение:

$2 * sin x * cos x + cos x = 2$

Теперь мы видим, что в двух частях левой части уравнения есть общий член — cos x/ Мы можем вынести его за скобки и получим:

$cos x (2 sin x + 1) = 2$

Теперь мы можем легко образовать систему уравнений:

$\begin{cases} & cos x = 2 \\ & 2 sin x + 1 = 2 \end{cases}$

Первое из них (cos x = 2) не имеет решения, так как косинус и синус не могут быть больше чем 1.
Значит остаётся работать лишь со вторым:

$2 sin x + 1 = 2$

Немного его упростим:

$2 sin x = 1$

Поделим обе части уравнения на 2 и получим:

$sin x = \frac{1}{2}$

Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение. Для его решения есть определённое правило решения подобных уравнений, которое примет такой общий вид:

$sin x = a$

$x = (-1)^{k}arcsin\mathbf{a} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Как только мы разобрались с общим решением, то теперь можем преступить к решению именно Вашего уравнения:

$sin x = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^{k}arcsin \frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Значение $arcsin \frac{1}{2}$ мы найдём при помощи таблицы. И исходя из этого получаем, что $arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$
Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение:

$sin x = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^{k}\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^{k}\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2 sin 2x / 2 + 2 cos x / 2 = 2 решение

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.