Вычислите предел по правилу лопиталя

DWQA Questions › Вычислите предел по правилу лопиталя

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
На контрольной попалось задание «Вычислите предел по правилу Лопиталя». Сам предел конечно не помню, но очень хочу разобраться как его нужно находить, т.к. пересдавать придется. Помогите разобраться!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Правило Лопиталя обычно применяют, когда при вычислении пределов в результате получают неопределенность следующих видов: $\left(\frac{0}{0}\right)$ , $\left(\frac{\infty }{\infty }\right)$ , $\left(0\cdot \infty \right)$ , $\left(\infty -\infty \right)$ .
Правило Лопиталя применяется наиболее часто. При случаях, когда, применив правило Лопиталя неопределенность не исчезнет, его можно применить еще.
Правило сводится к тому, что если в точке существуют производные от функций, которые стоят в числителе и знаменателе, то предел можно найти именно от частного этих функций, заменив ими заданные.
Рассмотрим на примере применение правила Лопиталя.

Пример 1.
Вычислим предел по правилу Лопиталя:

${\mathop{\lim }_{x\to 0} \frac{{{\rm sin}\ }^2\left(13x\right)}{17x\cdot {\cos \left(11x\right)\ }}\ }.$

Решение.
Подставим значение х и получим:

В результате получилась неопределенность типа $\left(\frac{0}{0}\right)$ , которую можно решить с помощью правила Лопиталя:

${\mathop{\lim }_{x\to 0} \frac{{{\rm sin}\ }^2\left(13x\right)}{17x\cdot {\cos \left(11x\right)\ }}\ }=\frac{{{\rm sin}\ }^2\left(13\cdot 0\right)}{17\cdot 0\cdot {\cos \left(11\cdot 0\right)\ }}=\left(\frac{0}{0}\right)={\mathop{\lim }_{x\to 0} \frac{\left({{\rm sin}\ }^2\left(13x\right)\right)'}{\left(17x\cdot {\cos \left(11x\right)\ }\right)'}\ }=$

$={\mathop{\lim }_{x\to 0} \frac{2{\sin \left(13x\right)\ }\left({\sin \left(13x\right)\ }\right)'}{{17x}^'\cdot {\cos \left(11x\right)\ }+17x\cdot \left({\cos \left(11x\right)\ }\right)'}\ }={\mathop{\lim }_{x\to 0} \frac{26{\sin \left(13x\right)\ }{\cos \left(13x\right)\ }}{{{\rm 17cos} \left(11x\right)\ }-187x\cdot {\sin \left(11x\right)\ }}\ }=$

$=\frac{26{\sin \left(13\cdot 0\right)\ }{\cos \left(13\cdot 0\right)\ }}{17\left({\cos \left(11\cdot 0\right)-11\cdot 0\cdot {\sin \left(11\cdot 0\right)\ }\ }\right)}=\frac{0}{17\cdot 1}=0.$

Ответ. ${\mathop{\lim }_{x\to 0} \frac{{{\rm sin}\ }^2\left(13x\right)}{17x\cdot {\cos \left(11x\right)\ }}\ }=0$ .

В данном примере правило сработало с первого раза. В случае, если после его применения опять получилась бы определенность одного из вышеупомянутых видов, то правило нужно было бы применить еще раз.

Вычислите предел по правилу лопиталя

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.