Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций

DWQA Questions › Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Нужно решить! Срочно!
Вычислить площади фигуры, ограниченной графиками функций:

$y={\left(x-12\right)}^3, y=4x-48.$

Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задание.
Вычислить площади фигуры, ограниченной графиками функций:

$y={\left(x-12\right)}^3, y=4x-48.$

Решение.
Решение начнем с того, что изобразим данные функции на координатной плоскости.

Найдем точки пересечения этих функций, решив для этого систему из уравнений этих функций. Получим:

$\left\{ \begin{array}{c} y={\left(x-12\right)}^3, \\ y=4x-48;; \end{array} \right.$

Поскольку левые части в уравнениях системы равны, то мы можем приравнять их правые части. Решим следующее полученное уравнение:

${\left(x-12\right)}^3=4x-48;$

${\left(x-12\right)}^3-4x-48=0;$

${\left(x-12\right)}^3-4\cdot \left(x-12\right)=0;$

$\left(x-12\right)\cdot \left(x^2-24x+140\right)=0;$

$x_1=12$ или $x^2-24x+140=0$ ;

$D={\left(-24\right)}^2-4\cdot 1\cdot 140=576-560=16;$

$x_2=\frac{24-4}{2}=10;$

$x_3=\frac{24+4}{2}=14.$

Найдем ординаты полученных точек:

$y_1=4\cdot 12-48=0;$

$y_2=4\cdot 10-48=-8;$

$y_3=4\cdot 14-48=8.$

Полученная фигура, которая ограничена заданными функциями, состоит из двух совершенно одинаковых частей. Поэтому будем находить площадь одной ее части, умноженной на 2:

$S=2\cdot \int^8_0{\left(y_1-y_2\right)dx}.$

Первая функция, которую нужно подставить в уравнение, это функция, которой фигура ограничивается сверху, а вторая, соответственно, которой фигура ограничена снизу.
Подставим уравнения функций и рассчитаем площадь фигуры:

$S=2\cdot \int^8_0{\left(4x-48-{\left(x-12\right)}^3\right)dx}=$

$=2\cdot \int^8_0{\left(4x-48-x^3+36x^2-432x+1728\right)dx}=$

$=2\cdot \int^8_0{\left(-x^3+36x^2+428x+1580\right)dx}=$

$={\left.2\cdot \left(-\frac{x^4}{4}+12x^3+214x^2+1580x\right)\right|}^8_0=$

$=2\cdot \left(-\frac{8^4}{4}+12\cdot 8^3+214\cdot 8^2+1580\cdot 8\right)=$

$=2\cdot \left(1024+6144+13696+12640\right)=67008$ (кв. ед.)

Ответ. 67008 кв. ед.

Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.