Вычислить объем тела ограниченного поверхностями

DWQA Questions › Вычислить объем тела ограниченного поверхностями

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить задачу:
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

$z=y^2;$

$x=0;$

$y=0;$

$z=0;$

$y=1-x.$

Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задача.
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

$z=y^2;$

$x=0;$

$y=0;$

$z=0;$

$y=1-x.$

Решение.
Указанные уравнения задают соответствующие поверхности, которыми ограничена фигура, объем которой мы будем находить.
Для вычисления объема поверхности используется формула $V=\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\nolimits_T{dxdydz}$ .
Разберемся сначала, что за тело получится при построении всех поверхностей. Для этого выполним чертеж.
Изобразим сначала параллельную ортогональную проекцию тела на координатную плоскость XOY. Поскольку проецирование будет проводиться вдоль оси OZ, то в прежде всего нужно разобраться с теми поверхностями, которые являются параллельными данной оси. Обратим внимание, что такие уравнения не содержат букву z. В условии задачи таких уравнений 3:
1. $x=0$ задаёт плоскость YOZ, проходящую через ось OY;
2. $y=0$ задаёт плоскость XOZ, проходящую через ось OX;
3. $y=1-x$ задаёт плоскость, которая проходит через прямую $y=1-x$ параллельно оси OZ.
Искомая проекция может представлять собой такой треугольник:

Треугольник будет проекцией в том случае, если его не обрежет какая-нибудь из оставшихся поверхностей.
Проанализируем остальные поверхности.
Выясним, чем тело будет ограничено сверху, снизу и выполним пространственный чертёж.
Вернемся к условию задачи и посмотрим на поверхности, которые остались:
$z=0$ описывает координатную плоскость XOY;
$z=y^2$ описывает параболический цилиндр, который расположен над плоскостью XOY и проходит через ось ОХ.
Следовательно, проекцией тела действительно будет треугольник.
Обратим внимание, что в условии мы обнаружили избыточность условия, то есть достаточно было меньшее количество уравнений для решения задачи. Например, уравнение $y=0$ плоскости XOZ лишнее, так как поверхность $z=y^2$ касается оси ОХ и замыкает тело. Но в таком случае проекцию невозможно было бы начертить сразу, а лишь после анализа уравнения поверхности $z=y^2$ .
Начертим часть параболического цилиндра:

Данный чертеж позволяет определить порядок обхода тела.
Определим порядок обхода проекции. Для этого очень удобно использовать двумерный чертеж. Получаем:

$0\le y\le 1-x;$

$0\le x\le 1.$

Затем посмотрим на наш трёхмерный чертёж снизу вверх. Сначала мы натыкаемся на плоскость $z=0$ и проходим далее через поверхность $z=y^2$ . Получаем следующий порядок обхода тела:

$0\le z\le y^2;$

$0\le y\le 1-x;$

$0\le x\le 1.$

Запишем тройной интеграл, от которого перейдём к повторным:

$V=\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\nolimits_T{dxdydz}=\int^1_0{dx}\int^{1-x}_0{dy}\int^{y^2}_0{dz}.$

Интегралы будем находить отдельно:
1) Начнем с внутреннего интеграла от переменной z. Согласно формуле Ньютона-Лейбница:

$\int^{y^2}_0{dz}={\left.z\right|}^{y^2}_0=y^2-0=y^2.$

Полученный результат подставим в следующий интеграл от переменной y:

$V=\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\nolimits_T{dxdydz}=\int^1_0{dx}\int^{1-x}_0{dy}\int^{y^2}_0{dz}=\int^1_0{dx}\int^{1-x}_0{y^2dy}.$

$2)\int^{1-x}_0{y^2dy}={\left.\frac{y^3}{3}\right|}^{1-x}_0=\frac{{\left(1-x\right)}^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{{\left(1-x\right)}^3}{3}.$

$3)\frac{1}{3}\int^1_0{{\left(1-x\right)}^3dx}=-\frac{1}{3}\int^1_0{{\left(1-x\right)}^3d\left(1-x\right)}=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}{\left.{\left(1-x\right)}^4\right|}^1_0=$

$=-\frac{1}{12}\left({\left(1-1\right)}^4-{\left(1-0\right)}^4\right)=-\frac{1}{12}\left(0-1\right)=\frac{1}{12}.$

Ответ. $V=\frac{1}{12}$ куб. ед.

Конечно, решение можно было записать одной строкой, но с пояснениями оно получилось достаточно длинным, но при таком варианте возможность допустить ошибку намного меньше.

Вычислить объем тела ограниченного поверхностями

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.