Решение задачи Коши

Для начала разберемся, что такое задача Коши.
Решение задачи Коши подразумевает найти решение диф. уравнения, которое будет подходить для заданных начальных условий.
Для решения задачи Коши сначала находят общее решение диф. уравнения, а потом подставляют начальные условия и находят значения коэффициентов и .
Решим задачу.
 
Задача.
Найдем решение задачи Коши при заданном начальном условии у(1)=3:

 
Решение.
Заданное уравнение — это линейное диф. уравнение первого порядка.
Решим данное уравнение с помощью метода Лагранжа.
Отыщем общее решение однородного уравнения, которое соответствует данному:

Перепишем его в виде:

Полученное уравнение с разделяющимися переменными. Умножим обе его части на :

Проинтегрируем почленно:

Решение подобного неоднородного уравнения ищут в виде:

Здесь — неизвестная функция.
Подставим в исходное уравнение:

Проинтегрируем почленно:

Общим решением заданного неоднородного уравнения будет

Используем начальное условие и найдем значение произвольной постоянной:

Получено частное решение:

 
Ответ. .