Построение биссектрисы угла

Поскольку биссектриса угла делит этот угол на два одинаковых угла, то задача сводится к делению заданного угла пополам.
Рассмотрим алгоритм построения:

1. Начертим окружность (достаточно построить ее часть), центр которой будет совпадать с вершиной угла таким образом, чтобы эта окружность пересекла стороны заданного угла.
2. Замерим циркулем расстояние между точками, в которых окружность пересечет стороны угла.
3. Начертим две окружности (достаточно построить их части) с радиусом, который мы получили в предыдущем пункте, с вершинами в точках, которые получили в пункте 1 (точки пересечения первой окружности со сторонами заданного угла). Построенные две окружности (или части этих окружностей) должны пересекаться в середине угла.
4. Проведем луч из вершины угла таким образом, чтобы он проходил через точку, в которой пересеклись окружности в пункте 3. Данный луч и будет являться биссектрисой заданного угла.

Доказательство того, что луч, который мы построили, будет являться биссектрисой, можно провести с помощью рассмотрения двух треугольников, одна сторона у которых общая – отрезок от вершины угла до точки, в которой пересекаются окружности, полученной в пункте 3. Второй парой соответствующих сторон являются отрезки, соединяющие вершину угла и точки пересечения окружности со сторонами угла, которые получены в пункте 1. Третьей парой соответствующих сторон являются отрезки, которые соединяют точки пересечения окружности, полученные в пункте 1 и точку пересечения окружностей, которые получены в пункте 3.
Две пары соответствующих отрезков равны между собой, т.к. они являются радиусами одной и той же окружности или двух окружностей с одинаковыми радиусами. Из чего следует равенство треугольников по трем сторонам. Так как в равных треугольниках углы также равны, то новые углы при вершине заданного угла равны, из чего следует, что построенный луч – биссектриса.