Пользуясь правилами и формулами дифференцирования найдите производную

DWQA Questions › Пользуясь правилами и формулами дифференцирования найдите производную

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Задание: «Пользуясь правилами и формулами дифференцирования найдите производную функций:
1) $y=\frac{13x-14}{\sqrt{x^3+13x-27}}$ ;
2) ${y=\left({{\rm 3}}^{{\rm sin12x}}{\rm -}{{\rm cos}}^{{\rm 2}}{\rm 12x}\right)}^{{\rm 3}}$ ;
3) $y={\ln {\arcsin \sqrt{11-x^2}\ }\ }$ ;
4) $y={\ln \sqrt[3]{\frac{12-7x^3}{x^3-16x}}\ }$ »
Такие задания вызывают у меня определенные затруднения.
Спасибо всем, кто поможет решить!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Пример 1.
Найдем производную функции:

$y=\frac{13x-14}{\sqrt{x^3+13x-27}}.$

Решение.
В данном решении используем формулу вычисления производной дроби, производную степенной функции, а также правило нахождения производной от сложной функции.

$\frac{{\rm dy}}{{\rm dx}}{\rm =}\frac{{\rm 13}\sqrt{{{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm +13x-27}}{\rm -}\frac{\left({\rm 3}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm +13}\right)}{{\rm 2}\sqrt{{{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm +13x-27}}}\cdot \left({\rm 13x-14}\right)}{{{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm +13x-27}}{\rm =}$

$=\frac{{\rm 26}\left({{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm +13x-27}\right){\rm -}\left({{\rm 3x}}^{{\rm 2}}{\rm +13}\right)\left({\rm 13x-14}\right)}{{\rm 2}\sqrt{{{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm +13x-27}}\cdot \left({{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm +13x-27}\right)}{\rm =}$

$=\frac{{\rm 26}{{\rm x}}^{{\rm 3}}+338{\rm x}-702{\rm -}{\rm 39}x^3+42x^2-169x+182}{{\rm 2}\sqrt{{\left({{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm +13x-27}\right)}^{{\rm 3}}}}=$

$=\frac{{{\rm -}{\rm 13x}}^{{\rm 3}}{\rm +}{{\rm 42x}}^{{\rm 2}}{\rm +169x-520}}{{\rm 2}\sqrt{{\left({{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm +13x-27}\right)}^{{\rm 3}}}}.$

Ответ. $\frac{{\rm dy}}{{\rm dx}}=\frac{{{\rm -}{\rm 13x}}^{{\rm 3}}{\rm +}{{\rm 42x}}^{{\rm 2}}{\rm +169x-520}}{{\rm 2}\sqrt{{\left({{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm +13x-27}\right)}^{{\rm 3}}}}$ .\textbf{}

Пример 2.
Найдем производную функции:

${y=\left({{\rm 3}}^{{\rm sin12x}}{\rm -}{{\rm cos}}^{{\rm 2}}{\rm 12x}\right)}^{{\rm 3}}.$

Решение.

$\frac{{\rm dy}}{{\rm dx}}{\rm =3}{\left({{\rm 3}}^{{\rm sin12x}}{\rm -}{{\rm cos}}^{{\rm 2}}{\rm 12x}\right)}^{{\rm 2}}\cdot {\left({{\rm 3}}^{{\rm sin12x}}{\rm -}{{\rm cos}}^{{\rm 2}}{\rm 12x}\right)}^{{\rm '}}{\rm =}$

${\rm =3}{\left({{\rm 3}}^{{\rm sin12x}}{\rm -}{{\rm cos}}^{{\rm 2}}{\rm 12x}\right)}^{{\rm 2}}\cdot \left({{\rm 3}}^{{\rm sin12x}}\cdot {\rm ln3}\cdot {\rm cos12x}\cdot {\rm 12-2cos12x}\cdot \left({\rm -}{\rm sin12x}\right)\cdot {\rm 12}\right){\rm =}$

${\rm =36}{\left({{\rm 3}}^{{\rm sin12x}}{\rm -}{{\rm cos}}^{{\rm 2}}{\rm 12x}\right)}^{{\rm 2}}\cdot \left({{\rm ln3}\cdot {\rm 3}}^{{\rm sin12x}}\cdot {\rm cos12x-sin24x}\right).$

Ответ. $\frac{{\rm dy}}{{\rm dx}}{\rm =36}{\left({{\rm 3}}^{{\rm sin12x}}{\rm -}{{\rm cos}}^{{\rm 2}}{\rm 12x}\right)}^{{\rm 2}}\cdot \left({{\rm ln3}\cdot {\rm 3}}^{{\rm sin12x}}\cdot {\rm cos12x-sin24x}\right)$ .

Пример 3.
Найдем производную функции:

$y={\ln {\arcsin \sqrt{11-x^2}\ }\ }.$

Решение.

$\frac{{\rm dy}}{{\rm dx}}{\rm =}{\left({\ln {\arcsin \sqrt{11-x^2}\ }\ }\right)}^'=$

$=\frac{{\rm 1}}{{\rm arcsin}\sqrt{{\rm 11-}{{\rm x}}^{{\rm 2}}}}\cdot \frac{{\rm 1}}{\sqrt{{\rm 1-}\left({\rm 11-}{{\rm x}}^{{\rm 2}}\right)}}\cdot \frac{{\rm 1}}{{\rm 2}\sqrt{{\rm 11-}{{\rm x}}^{{\rm 2}}}}\cdot \left({\rm -}{\rm 2x}\right){\rm =}$

$=\frac{{\rm -}{\rm 2x}}{{\rm arcsin}\sqrt{{\rm 11-}{{\rm x}}^{{\rm 2}}}\cdot \sqrt{-x^2-10}\cdot {\rm 2}\sqrt{{\rm 1-}{{\rm x}}^{{\rm 2}}}}{\rm =}\frac{x}{\sqrt{{\rm 11-}{{\rm x}}^{{\rm 2}}}\cdot \sqrt{x^2+10}\cdot {\rm arcsin}\sqrt{{\rm 11-}{{\rm x}}^{{\rm 2}}}}=$

$=\frac{x}{\sqrt{\left({\rm 11-}{{\rm x}}^{{\rm 2}}\right)\cdot \left(10+x^2\right)}\cdot {\rm arcsin}\sqrt{{\rm 11-}{{\rm x}}^{{\rm 2}}}}.$

Ответ. $\frac{{\rm dy}}{{\rm dx}}=\frac{x}{\sqrt{\left({\rm 11-}{{\rm x}}^{{\rm 2}}\right)\cdot \left(10+x^2\right)}\cdot {\rm arcsin}\sqrt{{\rm 11-}{{\rm x}}^{{\rm 2}}}}$ .

Пример 4.
Найдем производную функции:

$y={\ln \sqrt[3]{\frac{12-7x^3}{x^3-16x}}\ }.$

Решение.

$\frac{{\rm dy}}{{\rm dx}}{\rm =}{\left({\ln \sqrt[3]{\frac{12-{7x}^3}{x^3-16x}}\ }\right)}^'=$

${\rm =}\sqrt[{{\rm 3}}]{\frac{{{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm -}{\rm 16x}}{{\rm 12-7}{{\rm x}}^{{\rm 3}}}}\cdot \frac{{\rm 1}}{{\rm 3}}\cdot {\left(\frac{{{\rm 12-7x}}^{{\rm 3}}}{{{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm -}{\rm 16x}}\right)}^{{\rm -}\frac{{\rm 2}}{{\rm 3}}}\cdot \frac{{\rm -}{\rm 21}{{\rm x}}^{{\rm 2}}\cdot \left({{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm -}{\rm 16x}\right){\rm -}\left({\rm 12-7}{{\rm x}}^{{\rm 3}}\right)\left({\rm 3}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 16}\right)}{{\left({{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm -}{\rm 16x}\right)}^{{\rm 2}}}{\rm =}$

${\rm =}\frac{{\rm 1}}{{\rm 3}}\cdot \frac{{{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm -}{\rm 16x}}{{\rm 12-7}{{\rm x}}^{{\rm 3}}}\cdot \frac{{\rm -}{\rm 21}{{\rm x}}^{{\rm 5}}{\rm +336}x^3{\rm -}{\rm 36}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm +192+21}x^5-112x^3}{{\left({{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm -}{\rm 16x}\right)}^{{\rm 2}}}{\rm =}$

${\rm =}\frac{{\rm 224}{{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm -}{\rm 36}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm +192}}{{\rm 3}\left({\rm 12-}{{\rm 7x}}^{{\rm 3}}\right)\left({{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm -}{\rm 16x}\right)}{\rm =}\frac{{\rm 4}\left(56{{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm -}{\rm 9}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm +48}\right)}{3\left({\rm 12-7}{{\rm x}}^{{\rm 3}}\right)\left({{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm -}{\rm 16x}\right)}.$

Ответ. $\frac{{\rm dy}}{{\rm dx}}=\frac{{\rm 4}\left(56{{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm -}{\rm 9}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm +48}\right)}{3\left({\rm 12-}{{\rm 7x}}^{{\rm 3}}\right)\left({{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm -}{\rm 16x}\right)}$ .

Пользуясь правилами и формулами дифференцирования найдите производную

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.