Найти неопределенные интегралы результаты проверить дифференцированием

DWQA Questions › Найти неопределенные интегралы результаты проверить дифференцированием

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите найти неопределенные интегралы:

$\int{\left({\rm 13}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 17x+29}\right){\rm dx}}$

$\int{\left(\frac{{{\rm x}}^{{\rm 2}}}{{\rm 7}}{\rm -}\frac{{\rm x}}{{\rm 17}}{\rm -}{\rm 37}\right){\rm dx}}$

Результаты проверить дифференцированием.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

При вычислении неопределенных интегралов получают функцию, которая является первообразной для заданной функции.
Чтобы вычислить неопределенный интеграл используется алгоритм применения основных правил интегрирования, которые зависят от определенного вида функции. В результате из одного неопределенного интеграла получают другой соответственно с одним из таких правил.

Пример 1.
Найдем интеграл:

$\int{\left({\rm 13}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 17x+29}\right){\rm dx}}.$

Решение.

$\int{\left({\rm 13}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 17x+29}\right){\rm dx}}{\rm =}$

Используем свойство интеграла от суммы, согласно которому можно записать сумму интегралов отдельных слагаемых:

${\rm =}\int{{\rm 13}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm dx}}{\rm -}\int{{\rm 17xdx}}{\rm +}\int{{\rm 29dx}}{\rm =13}\cdot \frac{{{\rm x}}^{{\rm 3}}}{{\rm 3}}{\rm -}{\rm 17}\cdot \frac{{{\rm x}}^{{\rm 2}}}{{\rm 2}}{\rm +29x+C=}$

${\rm =}\frac{{\rm 13}}{{\rm 3}}{{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm -}\frac{{\rm 17}}{{\rm 2}}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm +29x+C}.$

Проверка:
Для проверки правильности решения необходимо найти производную от найденного результата. Ее значение должно быть равным функции, которая стоит под знаком интеграла. В таком случае решение считается верным.

${\left(\frac{{\rm 13}}{{\rm 3}}{{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm -}\frac{{\rm 17}}{{\rm 2}}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm +29x+C}\right)}^{{\rm '}}{\rm =}{\left(\frac{{\rm 13}}{{\rm 3}}{{\rm x}}^{{\rm 3}}\right)}^{{\rm '}}{\rm +}{\left({\rm -}\frac{{\rm 17}}{{\rm 2}}{{\rm x}}^{{\rm 2}}\right)}^{{\rm '}}{\rm +}{\left({\rm 29x}\right)}^{{\rm '}}{\rm +}{\left({\rm C}\right)}^{{\rm '}}{\rm =}$

${\rm =}\frac{{\rm 13}}{{\rm 3}}\cdot {\rm 3}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm -}\frac{{\rm 17}}{{\rm 2}}\cdot {\rm 2x+29}\cdot {\rm 1+0=13}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 17x+29}.$

Ответ. $\int{\left({\rm 13}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 17x+29}\right){\rm dx}}{\rm =}\frac{{\rm 13}}{{\rm 3}}{{\rm x}}^{{\rm 3}}{\rm -}\frac{{\rm 17}}{{\rm 2}}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm +29x+C}$ .

Пример 2.
Найдем интеграл:

$\int{\left(\frac{{{\rm x}}^{{\rm 2}}}{{\rm 7}}{\rm -}\frac{{\rm x}}{{\rm 17}}{\rm -}{\rm 37}\right){\rm dx}}.$

Решение.

$\int{\left(\frac{{{\rm x}}^{{\rm 2}}}{{\rm 7}}{\rm -}\frac{{\rm x}}{{\rm 17}}{\rm -}{\rm 37}\right){\rm dx}}{\rm =}\int{\frac{{{\rm x}}^{{\rm 2}}}{{\rm 7}}{\rm dx}}{\rm -}\int{\frac{{\rm x}}{{\rm 17}}{\rm dx}}{\rm -}\int{{\rm 37dx}}{\rm =}$

Вынесем постоянные множители за знак интеграла и вычислим значение интегралов от простых функций:

$\frac{{\rm 1}}{{\rm 7}}\int{{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm dx}}{\rm -}\frac{{\rm 1}}{{\rm 17}}\int{{\rm xdx}}{\rm -}\int{{\rm 37dx}}{\rm =}$

${\rm =}\frac{{\rm 1}}{{\rm 7}}\cdot \frac{{{\rm x}}^{{\rm 3}}}{{\rm 3}}{\rm -}\frac{{\rm 1}}{{\rm 17}}\cdot \frac{{{\rm x}}^{{\rm 2}}}{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 37x+C=}\frac{{{\rm x}}^{{\rm 3}}}{{\rm 21}}{\rm -}\frac{{{\rm x}}^{{\rm 2}}}{{\rm 34}}{\rm -}{\rm 37x+C}.$

Проверка:

${\left(\frac{{{\rm x}}^{{\rm 3}}}{{\rm 21}}{\rm -}\frac{{{\rm x}}^{{\rm 2}}}{{\rm 34}}{\rm -}{\rm 37x+C}\right)}^{{\rm '}}{\rm =}{\left(\frac{{{\rm x}}^{{\rm 3}}}{{\rm 21}}\right)}^{{\rm '}}{\rm +}{\left({\rm -}\frac{{{\rm x}}^{{\rm 2}}}{{\rm 34}}\right)}^{{\rm '}}{\rm +}{\left({\rm -}{\rm 37x}\right)}^{{\rm '}}{\rm +}{\left({\rm C}\right)}^{{\rm '}}{\rm =}$

${\rm =}\frac{{\rm 1}}{{\rm 21}}\cdot {\rm 3}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm -}\frac{{\rm 1}}{{\rm 34}}\cdot {\rm 2x-37}\cdot {\rm 1+0=}\frac{{\rm 1}}{{\rm 7}}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm -}\frac{{\rm 1}}{{\rm 17}}{\rm x-37}.$

Ответ. $\int{\left(\frac{{{\rm x}}^{{\rm 2}}}{{\rm 7}}{\rm -}\frac{{\rm x}}{{\rm 17}}{\rm -}{\rm 37}\right){\rm dx}}{\rm =}\frac{{{\rm x}}^{{\rm 3}}}{{\rm 21}}{\rm -}\frac{{{\rm x}}^{{\rm 2}}}{{\rm 34}}{\rm -}{\rm 37x+C}$ .

Найти неопределенные интегралы результаты проверить дифференцированием

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.