Найти асимптоты графика функции

DWQA Questions › Найти асимптоты графика функции

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Помогите найти асимптоты графика функции $y=\frac{7x}{11x+13}$ .
Нужно срочно! Завтра контрольная, будет похожее задание.
Спасибо за помощь!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Решим пример.

Пример.
Найти асимптоты графика функции $y=\frac{7x}{11x+13}$ .

Решение.
При $x=-\frac{13}{11}=-1\frac{2}{11}$ функция будет иметь разрыв второго рода. Проверим справедливость утверждения:

${\mathop{\lim }_{x\to -\frac{13}{11}-0} y\ }={\mathop{\lim }_{x\to -\frac{13}{11}-0} \frac{7x}{11x+13}\ }=$

$=\frac{7\cdot \left(-\frac{13}{11}\right)}{11\cdot \left(-\frac{13}{11}-0\right)+13}=\frac{-\frac{91}{11}}{-13-0+13}=\frac{-\frac{91}{11}}{-0}=+\infty ;$

${\mathop{\lim }_{x\to -\frac{13}{11}+0} y\ }={\mathop{\lim }_{x\to -\frac{13}{11}+0} \frac{7x}{11x+13}\ }=$

$=\frac{7\cdot \left(-\frac{13}{11}\right)}{11\cdot \left(-\frac{13}{11}+0\right)+13}=\frac{-\frac{91}{11}}{-13+0+13}=\frac{-\frac{91}{11}}{+0}=-\infty .$

Утверждение справедливо, а это значит, что прямая $x=-\frac{13}{11}$ является вертикальной асимптотой.
Найдем уравнение горизонтальной асимптоты, для чего найдем предел:

${\mathop{\lim }_{x\to \pm \infty } \frac{7x}{11x+13}\ }={\mathop{\lim }_{x\to \pm \infty } \frac{7}{11+\frac{13}{x}}\ }=\frac{7}{11}.$

Следовательно, функция имеет горизонтальную асимптоту, и ее уравнение $y=\frac{7}{11}$ .
Проверим, существуют ли у функции наклонные асимптоты.
Для этого вычислим коэффициенты k и b:

$k={\mathop{\lim }_{x\to \pm \infty } \frac{y}{x}\ }={\mathop{\lim }_{x\to \pm \infty } \frac{7x}{\left(11x+13\right)x}\ }=$

$={\mathop{\lim }_{x\to \pm \infty } \frac{7x}{{11x}^2+13x}\ }={\mathop{\lim }_{x\to \pm \infty } \frac{\frac{7}{x}}{11+\frac{13}{x}}\ }=0;$

$b={\mathop{\lim }_{x\to \pm \infty } \left(y-kx\right)\ }={\mathop{\lim }_{x\to \pm \infty } \frac{7x}{11x+13}-0\cdot x\ }=\frac{7}{11}.$

Когда подставим найденные коэффициенты в уравнение прямой y=kx+b, то получим уравнение горизонтальной асимптоты, которая найдена ранее:
y=kx+b=0•x+7/11=7/11.

Ответ. У функции $y=\frac{7x}{11x+13}$ две асимптоты: уравнение вертикальной асимптоты $x=-\frac{13}{11}$ , а горизонтальной — $y=\frac{7}{11}$ .

Удачи на контрольной!

Найти асимптоты графика функции

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.