Как найти сторону треугольника

DWQA Questions › Как найти сторону треугольника

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Задание звучит следующим образом: «Найти сторону произвольного треугольника, если длина медианы, проведенная к ней, равна 11 см, а длины двух других медиан равны 13 см и 17 см». Какие еще есть типичные задачи на нахождение стороны треугольника?

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Рассмотрим первую задачу:

Пример.
Найдем сторону произвольного треугольника, если длина медианы, которая проведена к этой стороне, равна 11 см, а длины других медиан равны 13 см и 17 см.

Решение.
Так как в задаче говорится о медианах, используем формулы на их нахождение.
Пусть дана медиана $m_a$ . Требуется найти сторону а.
У каждого треугольника три медианы. Запишем формулу для каждой из них:

$m_a=11=\frac{\sqrt{2\cdot \left(b^2+c^2\right)-a^2}}{2};$

$m_b=23=\frac{\sqrt{2\cdot \left(a^2+c^2\right)-b^2}}{2};$

$m_c=29=\frac{\sqrt{2\cdot \left(a^2+b^2\right)-c^2}}{2}.$

Выразим из третьего уравнения $c^2$ :

$\frac{\sqrt{2\cdot \left(a^2+b^2\right)-c^2}}{2}=29;$

$\sqrt{2\cdot \left(a^2+b^2\right)-c^2}=58;$

$2a^2+2b^2-c^2=3364;$

$c^2=2a^2+2b^2-3364.$

Из второго уравнения выразим $b^2$ , подставив в него найденное выражение для $c^2$ :

$\frac{\sqrt{2\cdot \left(a^2+c^2\right)-b^2}}{2}=23;$

$\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}=46;$

$\sqrt{2a^2+4a^2+4b^2-6728-b^2}=46;$

$6a^2+3b^2-6728=2116;$

$6a^2+3b^2=8844;$

$b^2=2948-2a^2.$

Подставим найденное значение в выражение для $c^2$ :

$c^2=2a^2+5896-4a^2-3364;$

$c^2=-2a^2+2532.$

Теперь подставим найденные выражения для $b^2$ и $c^2$ в первое уравнение и найдем нужную сторону:

$\sqrt{2\cdot \left(b^2+c^2\right)-a^2}=22;$

$\sqrt{2\cdot \left(2948-2a^2-2a^2+2532\right)-a^2}=22;$

$5896-4a^2-4a^2+5064-a^2=484;$

$10960-9a^2=484;$

$9a^2=10476;$

$a^2=1164;$

$a\approx 34,1$ (см).

Ответ. Сторона треугольника a = 34,1 см.

К типичным задачам на отыскание стороны треугольника относятся задачи на вычисление стороны треугольника при заданной стороне и двух углах, а также при заданных двух сторонах и углу.

Как найти сторону треугольника

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.