Как найти наклонные асимптоты функции

DWQA Questions › Как найти наклонные асимптоты функции

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Пожалуйста, расскажите как найти наклонные асимптоты функции. Очень нужно, чтобы получить зачет!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Чтобы прямая y=kx+b являлась наклонной асимптотой к графику функции у, ее уравнение должно удовлетворять условию

${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(y-kx-b\right)\ }=0.$

Из этого условия можно вычислить коэффициенты k и b наклонной асимптоты к графику функции у:

${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(kx+b\right)\ }={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(kx\right)\ }+b\ .$

Тогда

$b={\mathop{\lim }_{x\to \infty } y\ }-{\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(kx\right)\ }=$

По свойству пределов:

$={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(y-kx\right)\ }$

${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{y}{x}\ }=$

Подставим вместо у выражение из правой части уравнения прямой и почленно поделим числитель и воспользуемся свойством предела:

$={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{kx}{x}\ }+{\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{b}{x}\ }=$

Вынесем постоянные за знак предела:

$=k{\mathop{\lim }_{x\to \infty } 1\ }+b{\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{1}{x}\ }=k$

Следовательно, функция у будет иметь наклонную асимптоту в виде y=kx+b только в том случае, когда будут существовать конечные пределы:
$k={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{y}{x}\ }$ и $b={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(y-kx\right)\ }$

Пример.
Найдем наклонные асимптоты функции $y=\frac{21x^3}{23-29x^2}$ .

Решение.
Найдем наклонные асимптоты.
Уравнение наклонных асимптот имеет вид $y=kx+b$ . Согласно определению асимптоты:

${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(kx+b-y\right)\ }.$

Найдем коэффициент k:

$k={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{\frac{21x^3}{23-29x^2}}{x}\ }=-\frac{21}{29}.$

Найдем коэффициент \textit{b:}

$b={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(\frac{21x^3}{23-29x^2}-\left(-\frac{21}{29}\right)\cdot x\right)\ }={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(\frac{21x^3}{23-29x^2}+\frac{21}{29}\cdot x\right)\ }=0.$

Получили уравнение наклонной асимптоты:

$y=-\frac{21}{29}x.$

Ответ. $y=-\frac{21}{29}x$ — наклонная асимптота функции $y=\frac{21x^3}{23-29x^2}$ .

Таким образом, нахождение наклонных асимптот сводится к вычислению соответствующих пределом.
Чтобы убедиться в правильности решения можно построить график у функции и соответствующей асимптоты.

Как найти наклонные асимптоты функции

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.