Как найти асимптоты

DWQA Questions › Как найти асимптоты

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Всем доброго времени суток. Ищу помощи в таком вопросе: «Как найти асимптоты». Пытался сам разобраться, но попадается разная литература, в материале запутался. Может ли кто рассказать доступно и с примерами? Буду очень благодарен за ответ.

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Асимптоты обычно находят, когда нужно построить график функции.

Существует несколько видов асимптот по их расположению.

Вертикальную асимптоту можно задать уравнением $x=a$ , где а — любое число.

Наклонная асимптота описывается уравнением прямой с угловым коэффициентом: $y=kx+b$ .

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты, когда угловой коэффициент равен нулю: $y=b$ .

Если требуется найти асимптоты графика функции, значит нужно найти их все. Асимптот у функции может не быть вообще, может быть одна, две и более.

Рассмотрим пример нахождения асимптот.

Пример.
Найдем асимптоты графика функции $y=\frac{7x}{13x-21}$ .

Решение:
Сначала проверим, имеет ли функция вертикальные асимптоты. Для этого проверим, при каких значениях знаменатель дроби будет равен нулю:

$13x-21=0;$

$x=\frac{21}{13}.$

Таким образом, функция при $x=\frac{21}{13}$ не существует.

Определим, является ли прямая $x=\frac{21}{13}$ вертикальной асимптотой графика функции $y=\frac{7x}{13x-21}$ . Для этого найдем односторонние пределы. Подставим вместо переменной х выражение $\frac{21}{13}-0$ :

${\mathop{\mathrm{lim}}_{x\to \frac{21}{13}-0} y\ }={\mathop{\mathrm{lim}}_{x\to \frac{21}{13}-0} \frac{7x}{13x-21}\ }=\frac{7\cdot \left(\frac{21}{13}-0\right)}{13\cdot \left(\frac{21}{13}-0\right)-21}=\frac{\frac{147}{13}}{21-0-21}=\frac{\frac{147}{13}}{-0}=-\infty$

Получили бесконечный левосторонний предел.

Найдем правосторонний предел, чтобы понять, как располагается график функции:

${\mathop{\mathrm{lim}}_{x\to \frac{21}{13}+0} y\ }={\mathop{\mathrm{lim}}_{x\to \frac{21}{13}+0} \frac{7x}{13x-21}\ }=\frac{7\cdot \left(\frac{21}{13}+0\right)}{13\cdot \left(\frac{21}{13}+0\right)-21}=\frac{\frac{147}{13}}{21+0-21}=\frac{\frac{147}{13}}{+0}=+\infty$

Таким образом, бесконечность односторонних пределов указывает на то, что прямая $x=\frac{21}{13}$ — вертикальная асимптота графика функции $y=\frac{7x}{13x-21}$ при $x\to \frac{21}{13}$ .

Теперь проверим, имеет ли заданная функция наклонные асимптоты:

$k={\mathop{\mathrm{lim}}_{x\to \pm \infty } \frac{y}{x}\ }={\mathop{\mathrm{lim}}_{x\to \pm \infty } \frac{\frac{7x}{13x-21}}{x}\ }={\mathop{\mathrm{lim}}_{x\to \pm \infty } \frac{7x}{x\left(13x-21\right)}\ }={\mathop{\mathrm{lim}}_{x\to \pm \infty } \frac{7}{13x-21}\ }=0$

При $k=0$ получаем частный случай наклонной асимптоты — горизонтальную асимптоту.

Так как получен конечный первый предел, нужно найти второй предел:

$b={\mathop{\mathrm{lim}}_{x\to \pm \infty } \left(y-kx\right)\ }={\mathop{\mathrm{lim}}_{x\to \pm \infty } \left(\frac{7x}{13x-21}-0\cdot x\right)\ }={\mathop{\mathrm{lim}}_{x\to \pm \infty } \frac{7x}{13x-21}\ }=\frac{\infty }{\infty }={\mathop{\mathrm{lim}}_{x\to \pm \infty } \frac{\frac{7x}{x}}{\frac{13x-21}{x}}\ }={\mathop{\mathrm{lim}}_{x\to \pm \infty } \frac{7}{13-{\frac{21}{x}}^{\to 0}}\ }=\frac{7}{13}$

Получили конечный второй предел.

Таким образом, наклонной асимптотой будет:

$y=kx+b;$

$y=0\cdot x+\frac{7}{13};$

$y=\frac{7}{13}.$

Ответ. Вертикальная асимптота $x=\frac{21}{13}$ , горизонтальная асимптота $y=\frac{7}{13}$ .

Как найти асимптоты

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.