Как найти асимптоты функции

DWQA Questions › Как найти асимптоты функции

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Как найти асимптоты функции? Можете объяснить на конкретных примерах?
Спасибо всем, кто откликнется!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Функция может иметь асимптоты трех видов: горизонтальные (параллельны оси Ох), вертикальные (параллельны оси Оу) и наклонные (проходят под некоторым углом к оси Ох, как и к оси Оу).
Функция может асимптот может не иметь вообще, может иметь одну какую-то асимптоту, а может иметь и несколько разных или одинакового вида асимптот.
Рассмотрим на примере как найти асимптоты функции.

Пример.
Найти все виды асимптот функции $y=\frac{11x^3}{13-7x^2}$ .
1) Найдем наклонные асимптоты:
Уравнение наклонных асимптот имеет вид $y=kx+b$ . Согласно определению асимптоты:

${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(kx+b-y\right)\ }.$

Найдем коэффициент k:

$k={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{y}{x}\ }={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{\frac{11x^3}{13-7x^2}}{x}\ }=-\frac{11}{7}.$

Найдем коэффициент b:

$b={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(y-k\cdot x\right)\ }={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \left(\frac{11x^3}{13-7x^2}+\frac{11}{7}\cdot x\right)\ }=0.$

Получили уравнение наклонной асимптоты:

$y=-\frac{11}{7}x.$

2) Найдем вертикальные асимптоты.
Сначала нужно определить точки разрыва:

$x_1=-\sqrt{\frac{13}{7}};$

$x_2=\sqrt{\frac{13}{7}}.$

Находим передел справа и предел слева в точке $-\sqrt{\frac{13}{7}}$ :

${\mathop{\lim }_{x\to -\sqrt{\frac{13}{7}}-0} \frac{11x^3}{13-7x^2}\ }=\infty ;$

${\mathop{\lim }_{x\to -\sqrt{\frac{13}{7}}+0} \frac{11x^3}{13-7x^2}\ }=-\infty .$

Получили, что прямая $x=-\sqrt{\frac{13}{7}}$ — вертикальная асимптота заданной функции.
Находим передел справа и предел слева в точке $\sqrt{\frac{13}{7}}$ :

${\mathop{\lim }_{x\to \sqrt{\frac{13}{7}}-0} \frac{11x^3}{13-7x^2}\ }=\infty ;$

${\mathop{\lim }_{x\to \sqrt{\frac{13}{7}}+0} \frac{11x^3}{13-7x^2}\ }=-\infty .$

Получили, что и прямая $x=\sqrt{\frac{13}{7}}$ — вертикальная асимптота заданной функции.

Как найти асимптоты функции

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.