Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

DWQA Questions › Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Как изменить порядок интегрирования в двойном интеграле? Мне нужно как можно проще и понятнее. Лучше на примере.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Разберемся как можно изменить порядок интегрирования в двойном интеграле на конкретном примере. Так должно быть гораздо понятнее, чем изучать скучную теорию.
Рассмотрим следующий интеграл:

$\int^1_0{dx\int^{2\sqrt{x}}_{-2\sqrt{x}}{g\left(x,\ y\right)dy}}.$

Решение.
Пределы интегрирования нам известны, поэтому можем найти границы области интегрирования, которую принято обозначать буквой D.
Итак, область интегрирования D:

$x=1,$

$x=0,$

$y=-2\sqrt{x},$

$y=2\sqrt{x}.$

Построим эти области на координатной плоскости:

Область D располагается между прямыми х = 0 и х = 1 и ограничена сверху и снизу ветвями параболы $y^2=4x$ . На рисунке эта область заштрихована.
Новые пределы интегрирования должны быть изменены так, чтобы внешний интеграл был от у, а внутренний — от х.
Рассмотрим область интегрирования D на рисунке.
Если ее спроецировать на ось Оу, то ее границами будут точки —2 и 2. Эти точки — пределы внешнего интегрирования.
Слева область D ограничена кривой $y^2=4x$ . Но эту функцию нужно выразить относительно переменной х. Получим $x=\frac{y^2}{4}$ .
Справа область D ограничена прямой х = 1.
Запишем двойной интеграл с изменением порядка интегрирования:

$\int^2_{-2}{dy\int^1_{\frac{x^2}{4}}{g\left(x,\ y\right)dx}}.$

Таким образом, самое главное в изменении порядка интегрирования — это правильно найти новые его пределы.

cocksucker ответил 7 лет назад

Уважаемый, ваше решение неверно в корне. Вы забыли проткнуть свой график. Он распадается не на один(!) интеграл, а на два. Пожалуйста, перепроверьте свое решение

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.