Законы прямолинейного движения материальной точки

Основные законы прямолинейного движения

Законы движения призваны решать основную задачу механики, находить положение тела (материальной точки) в зависимости от времени. Для описания движения точки следует выбрать систему отсчета, которая состоит из тела отсчёта, системы координат и часов. Движение описывают тремя способами: координатным (скалярным), векторным, при помощи траектории.

Траекторией движения материальной точки при прямолинейном движении является прямая или ее часть.

Допустим, что материальная точка движется по оси X. В начальный момент времени будем считать, что она имеет координату $x_0$ , скорость $v_0$ , начало движенияпроисходит в момент $t_0.$

Если точка перемещается, то ее положение описывают уравнением в параметрическом виде (скалярным кинематическим уравнением):

$x=x\left(t\right)\left(1\right)$

или при помощи радиус вектора (векторное кинематическое уравнение):

$\overline{r}=\overline{r}\left(t\right)=x(t)\overline{i}\left(2\right),$

который проводят из начала системы координат к рассматриваемой материальной точке. Вектор $\overline{i}$ — единичный вектор на оси X. Выражения (1) и (2) называют кинематическими законами движения материальной точки.

Зная закон изменения координаты (1) можно получить законы изменения скорости и ускорения точки:

$v_x=\frac{dx}{dt}=\dot{x\ }\left(3\right),$

$a_x=\frac{dv_x}{dt}={\dot{v}}_x=\ddot{x}\left(4\right)$

При прямолинейном движении направление вектора скорости не изменяется во времени.

Если известна зависимость ускорения как функция от времени ( $a_x=a_x(t)$ ), то координату точки можно найти как:

$x\left(t\right)=\int^t_{t_0}{(t-t_1)a_x(t_1)}dt_1+v_{x0}\left(t-t_0\right)+x_0\left(5\right)$

Равномерное движение

Прямолинейное равномерное движение характеризуют следующие кинематические параметры:

$a_x=0;;\ v_x=v_{x0}=const; x\left(t\right)=x_0+v_{x0}\left(t-t_0\right)$

Равнопеременное движение материальной точки

Прямолинейное движение с постоянным ускорением можно описать следующими уравнениями:

$a_x=const; v_x=v_{x0}\pm a_x(t-t_0); x\left(t\right)=x_0+v_{x0}\left(t-t_0\right)\pm \frac{1}{2}a_x{(t-t_0)}^2$

Динамика прямолинейного движения материальной точки

Динамика изучает законы движения материальной точки в зависимости от сил, действующих на эту точку. Основные законы классической динамики были сформулированы Ньютоном. В соответствии с первым законом Ньютона материальная точка будет двигаться равномерно и прямолинейно, если на нее не действуют внешние силы или их действие взаимно компенсируются.

Для того чтобы материальная точка двигалась прямолинейно необходимым и достаточным условием является: начальная скорость данной точки и суммарная сила, действующая на нее в течение всего времени движения лежали на одной прямой.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Координата материальной точки при движении ее по оси X задана выражением: $x=Acos(\frac{2\pi }{T}t)$ . Каким будет путь (s), пройденный этой точкой за промежуток времени $0\le t\le T$ .

Решение

Закон изменение координаты показывает, что материальная точка совершает колебательные движения. В начальный момент времени координата точки равна:

$x\left(t=0\right)=Acos\left(\frac{2\pi }{T}\cdot 0\right)=A\left(1.1\right)$

На середине отрезка времени при $t=\frac{T}{2}$ материальная точка имеет координату:

$x\left(t=\frac{T}{2}\right)=Acos\left(\frac{2\pi }{T}\cdot \frac{T}{2}\right)=Acos\left(\pi \right)=-A\left(1.2\right)$

В конечный момент времени точка имеет координату:

$x\left(t=T\right)=Acos\left(\frac{2\pi }{T}\cdot T\right)=A\left(1.3\right)$

Мы получили схему движения точки, указанную на рис.1

Пример задачи на законы прямолинейного движения

Следовательно,из рис. 1 получаем:

$s=2A+2A=4\ A$

Ответ

$s=4A$

ПРИМЕР 2

Задание

Материальная точка перемещается по прямой. Закон ее движения задан функцией: $x\left(t\right)=0,1t-2$ , где x—расстояние от начала отсчета в метрах, время в секундах. Какова скорость движения данной точки при t= 1 c? Каков тип движения точки?