Законы электростатики

Основные законы электростатики

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Электростатикой называют раздел физики, который изучает свойства и законы взаимодействия систем неподвижных, относительно избранной системы отсчета, зарядов (совокупностей зарядов).

Закон сохранения заряда

Закон сохранения заряда является базовым законом в электростатике. Согласно этому закону в замкнутой системе алгебраическая сумма зарядов ( $q$ )неизменна. В виде математического выражения данный закон записывают как:

$q_1+q_2+\dots +q_N=\sum^N_{i=1}{q_i\left(1\right)}$

Закон сохранения заряда можно привести в иных формулировках, например такой:

Заряд будет сохраняться при любых процессах и перемещениях носителей заряда. Данная формулировка закона сохранения заряда является следствием следующих утверждений:

Закон сохранения заряда является следствием неуничтожимости носителей заряда, так как электрон и протон – это частицы материи с неограниченным временем жизни, обладающие инвариантными зарядами, не зависящими от скорости движения данных частиц.
Помимо протонов и электронов имеются другие элементарные частицы, несущие заряд. Однако они возникают, порождают другие частицы, но при всех превращениях суммарный заряд частиц не изменяется.

Еще одна формулировка закона:

Изменение заряда в объеме V возможно только как результат того, что заряд втекает или вытекает сквозь замкнутую поверхность (S), ограничивающую, рассматриваемый объем. В виде формулы закон в такой формулировке можно записать как:

$\frac{\partial }{\partial t}\int_V{\rho dV}=-I\left(2\right),$

где $\frac{\partial }{\partial t}\int_V{\rho dV}$ — скорость изменения заряда в объемеV. Знак минус в формуле (2) говорит о том, что если положительный заряд внутри объема уменьшатся, то ток течет из объема V. I — сила тока, которая протекает через замкнутую поверхность S. Выражение (2) это интегральная форма записи закона сохранения заряда.

В дифференциальной форме закон сохранение заряда записывают как:

$\frac{?\rho }{\partial t}+div\overline{j}=0\ \left(3\right),$

где $div\overline{j}=\frac{\partial j_x}{\partial x}+\frac{\partial j_y}{\partial y}+\frac{\partial j_z}{\partial z}; \overline{j}$ — вектор плотности тока; $\rho$ — объемная плотность распределения заряда.

Закон Кулона

Силы, с которыми взаимодействуют два точечных заряженных тела, прямо пропорциональны произведению их зарядов ( $q_1q_2$ ) и обратно пропорциональны расстоянию( $r$ ) между ними:

$\overline{F}=\frac{1}{4\pi {\varepsilon \varepsilon }_0}\frac{q_1q_2\overline{r}}{r^3}\left(4\right),$

где ${\varepsilon }_0=8,8\cdot {10}^{-12}$ Ф/м — электрическая постоянная; $\varepsilon$ — относительная диэлектрическая проницаемость вещества. Сила Кулона направлена вдоль прямой, которая соединяет взаимодействующие заряды.

Любое заряженное тело можно представить как систему точечных зарядов, следовательно, электростатическую силу, с которой одно тело, несущее заряд действует на другое заряженное тело, можно найти как векторную сумму сил, которые приложены ко всем точечным зарядам тела номер два со стороны каждого точечного заряда тела номер один.

Принцип суперпозиции

Основной задачей электростатики считают нахождение величин вектора напряженности в любой точке поля при известном распределении зарядов. Данную задачу решают, применяя принцип суперпозиции электростатических полей. Его формулируют следующим образом:

Напряженность электрического поля ( $\overline{E}$ ) совокупности зарядов есть векторная сумма напряженностей отдельных полей ( ${\overline{E}}_i$ ) зарядов. Для дискретного распределения зарядов имеем:

$\overline{E}=\sum^N_{i=1}{{\overline{E}}_i\left(5\right),}$

где N — количество зарядов. Для непрерывного распределения зарядов принцип суперпозиции предстает в виде:

$\overline{E}=\int_q{d\overline{E}\left(6\right),}$

где $d\overline{E}$ — напряженность поля, которое создает элементарный заряд $dq$ . Интеграл (6) берется по всем зарядам.

Теорема Гаусса

Данная теорема также применяется для решения основной задачи электростатики. Формулируют ее следующим образом:

Поток вектора напряженности электростатического поля ( $\Phi_E$ ) через замкнутую поверхность (S) является промо пропорциональным суммарному заряду (Q), который находится внутри рассматриваемой поверхности. В математическом виде теорема Гаусса записывается как:

$Ф_E=\oint_S{\overline{E}d\overline{S}=\frac{Q}{{\varepsilon }_0}}\left(7\right),$

Формулировка теоремы Гаусса приведена для вакуума и в системе СИ.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание:

Какова сила кулоновского отталкивания, которая возникает между ядром атома, которое подвергают бомбардировке протонами и протоном, если протон проходит на расстоянии $r=6\cdot {10}^{-14}$ м от ядра? Заряд ядра в 11 раз больше, чем заряд протона. Влияние электронной оболочки считать пренебрежимо малым.

Решение

Основой для решения задачи является закон Кулона в виде:

$F=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\frac{q_1q_2}{r^2}=k\frac{q_1q_2}{r^2}\left(1.1\right),$

$k=9\cdot {10}^9\frac{H{\cdot m}^2}{Kl^2}$ , заряд протона равен по модулю заряду электрона, следовательно: $q_1=1,6\cdot {10}^{-19}$ Кл, $q_2=11q_1=11\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}$ Кл. Можно провести вычисление искомой силы:

$F=9\cdot {10}^9\frac{1,6\cdot {10}^{-19}\cdot 11\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}}{{\left(6\cdot {10}^{-14}\right)}^2}=0,7\left(H\right)$

Ответ

$F=0,7$ Н

ПРИМЕР 2

Задание

Чему равен поток вектора напряженности через замкнутую поверхность куба (длина стороны куба равна $a$ ) рис.1 при заданном на рисунке дискретном распределении зарядов? Рассматриваемая система находится в вакууме.

Решение

Данная задача решается при помощи теоремы Гаусса:

$Ф_E=\frac{Q}{{\varepsilon }_0}\left(2.1\right),$

где суммарный заряд находится внутри выделенной поверхности. По условию задачи зарядов внутри куба на рис.1 нет, следовательно:

$\Phi_E=0$