Законы движения материальной точки

Кинематические законы движения

Механическим движением называют изменение положения тела относительно тел, составляющих систему отсчета. Для того чтобы описать движение тела следует выбрать систему отсчета в которую ходят: тело отсчёта, система координат, которая связана с телом отсчета и часы (отсчет времени). Движение можно описать при помощи трех способов: координатного (скалярного), векторного, траекторного (натурального).

В декартовой системе координат (рис.1) положение материальной точки (M) определяют три координаты ( $x,y,z$ ) или радиус-вектор $\overline{r}$ , который проведен из начала системы координат в рассматриваемую точку.

Если точка перемещается, то в любой следующий момент времени координаты изменяются:

$\left\{ \begin{array}{c} x=x\left(t\right), \\ y=y\left(t\right), \\ z=z\left(t\right). \end{array} \right.(1)$

Уравнения (1) называют скалярными кинематическими уравнениями движения материальной точки (параметрическими уравнениями). Данные уравнения определяют перемещение точки координатным способом.

Радиус- вектор можно определить как:

$\overline{r}=x\left(t\right)\overline{i}+y\left(t\right)\overline{j}+z\left(t\right)\overline{k}\left(2\right),\$

где $\overline{i}$ , $\overline{j}$ , $\overline{k}$ — единичные векторы по осям X,Y,Z (рис.1).Выражение:

$\overline{r}=\overline{r}(t)(3)$

является векторным кинематическим уравнением движения материальной точки. Выражения 1-3 называют кинематическими законами движения материальной точки. Данные законы полностью описывают движение точки.

Модуль (длина) радиус- вектора $\overline{r}$ находится при помощи формулы:

$r=\sqrt{{\left(x\left(t\right)\right)}^2+{\left(y\left(t\right)\right)}^2+{\left(z\left(t\right)\right)}^2}\left(4\right)$

Динамические законы движения материальной точки

Динамика рассматривает движение материальной точки в зависимости от сил, которые к ней приложены. Основные законы классической динамики сформулированы Ньютоном.

Первый закон Ньютона:

Материальная точка не изменяет своего состояния покоя или движется равномерно и прямолинейно, если внешние силы на нее не действуют или действие их взаимно скомпенсированы.

Второй закон Ньютона:

В инерциальных системах отсчета результирующая сил ( $\overline{F}=\sum{{\overline{F}}_i}$ ), приложенных к материальной точке равна произведению ее массы ( $m$ ) на ускорение ( $\overline{a}$ ):

$\overline{F}=m\overline{a}\left(5\right)$

Дифференциальные уравнения движения материальной точки записываю как:

$\left\{ \begin{array}{c} m\frac{d^2x}{dt^2}=\sum{F_{ix},} \\ m\frac{d^2y}{dt^2}=\sum{F_{iy},} \\ m\frac{d^2z}{dt^2}=\sum{F_{iz}} \end{array} \right.\left(6\right)$

где $x,y,z$ — координаты перемещающейся материальной точки, $F_{ix}$ , $F_{iy}$ , $F_{iz}$ —проекции сил, приложенных к точке.

С помощью дифференциальных уравнений перемещения материальной точки при известной массе находят силы, которые действуют на точку.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

На материальную точку действуют сила тяжести ( $m\overline{g}$ ) и сила сопротивления, пропорциональная скорости ( $\overline{v}$ ) движения точки ( $\overline{F}=-\mu \overline{v},\ \mu =const$ ) (рис.2). Составьте динамические уравнения движения материальной точки.

Пример на законы движения материальной точки

Решение

Проекциями векторного равенства $\overline{F}=-\mu \overline{v}$ являются выражения:

На ось X:

$F_x=-\mu \frac{dx}{dt}\left(1.1\right)$

на ось Y:

$F_y=-\mu \frac{dy}{dt}\left(1.2\right)$

на ось Z:

$F_z=-\mu \frac{dx}{dt}-mg\left(1.3\right)$

Применяя второй закон Ньютона выражения (1.1) — (1.3) преобразуем к виду:

$\left\{ \begin{array}{c} m\frac{d^2x}{dt^2}=-\mu \frac{dx}{dt}, \\ m\frac{d^2y}{dt^2}=-\mu \frac{dy}{dt}, \\ m\frac{d^2z}{dt^2}=-\mu \frac{dx}{dt}-mg. \end{array} \right.$

Ответ

$\left\{ \begin{array}{c} m\frac{d^2x}{dt^2}=-\mu \frac{dx}{dt}, \\ m\frac{d^2y}{dt^2}=-\mu \frac{dy}{dt}, \\ m\frac{d^2z}{dt^2}=-\mu \frac{dx}{dt}-mg. \end{array} \right.$

ПРИМЕР 2

Задание

Радиус — вектор материальной точки задан функцией: $\overline{r}=At\overline{i}+Bt^2\overline{j}$ , где $A,B=const>0$ , $\overline{i}$ , $\overline{j}$ — орты осей X и Y. Запишите уравнение траектории ( $y(x))$ , изобразите ее график.