Закон Кулона

Закон Кулона был эмпирически установлен в 1785 г. Он является основой теории электричества. Назван этот закон именем человека, который его открыл в ходе экспериментов и представил научной общественности.

Формулировка закона Кулона

Закон Кулона определят силы ( $\overline{F}$ ), с которыми взаимодействуют неподвижные точечные заряды ( $q_1$ и $q_2$ ), которые расположены на расстоянии $r$ друг от друга в однородном безграничном диэлектрике. В математическом виде данный закон в системе СИ записывают как:

$\overline{F}=\frac{1}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0}\frac{q_1q_2}{r^3}\overline{r}\left(1\right),$

где ${\varepsilon }_0=8,8\cdot {10}^{-12}$ Ф/м — электрическая постоянная; $\varepsilon$ — относительная диэлектрическая проницаемость вещества (среды). Для вакуума $\ \varepsilon =1$ ; $\overline{r}$ — радиус-вектор, соединяющий рассматриваемые заряды. В расчетах часто применяют величину $k=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}=9\cdot {10}^9$ м/Ф.

Этот закон иногда формулируют в так называемой полевой трактовке. При этом считают, что один заряд ( $q_1$ ) создает вокруг себя электростатическое поле с напряжённостью( $\overline{E}$ ):

$\overline{E}=\frac{1}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0}\frac{q_1}{r^3}\overline{r}\left(2\right)$

Данное поле действует на второй заряд ( $q_2$ ) с силой ( $\overline{F}$ ), равной:

$\overline{F}=q_2\overline{E}\left(3\right)$

Проверку закона Кулона проводил Максвелл и его эксперименты подтвердили справедливость рассматриваемого закона. Исследования магнитного поля при помощи спутников Земли доказали, что закон Кулона выполняется на больших расстояниях. Опыты с элементарными частицами (например, опыты Резерфорда) показали, что это закон применим и на малых расстояниях с высокой точностью.

Применение закона Кулона для систем зарядов

Если поле создается системой неподвижных зарядов, то результирующую силу, с которой рассматриваемое поле действует на пробный точечный заряд q, находят как векторную сумму сил, с которыми все заряды действуют на заряд q:

$\overline{F}=\sum^N_m{{\overline{F}}_{mn}\left(4\right),}$

где N — количество источников поля.

Если поле создает система зарядов, которую можно назвать непрерывной, то от суммирования можно перейти к интегрированию и записать, что на пробный заряд qдействует поле, напряженность которого равна:

$\overline{E}=\int{d\overline{E}\left(5\right),}$

интегрирование в формуле (5) проводят по области распределения зарядов (линии, площади или объему).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Какое расстояние ( $r_2$ ) должно быть между точечными зарядами в веществе с относительной диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ , если в воздухе они находились на расстоянии $r_1$ , чтобы сила взаимодействия между ними осталась неизменной?

Решение

Сделаем рисунок.

В соответствии с законом Кулона точечные заряды в веществе взаимодействуют с силами равными по модулю:

$F=\frac{1}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0}\frac{q_1q_2}{{r_2}^2}\left(1.1\right)$

В воздухе (при $\varepsilon =1$ ) силу взаимодействия зарядов выразим как:

$F=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\frac{q_1q_2}{{r_1}^2}\left(1.2\right)$

Левые части выражений (1.1) и (1.2) равны, следовательно, равны правые части:

$\frac{1}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0}\frac{q_1q_2}{{r_2}^2}=\frac{1}{4$\eth$е_0}\frac{q_1q_2}{{r_1}^2}\left(1.3\right)$

Из (1.3) выразим искомое расстояние:

$\frac{1}{{{\varepsilon r}_2}^2}=\frac{1}{{r_1}^2}\to r_2=r_1\sqrt{\frac{1}{\varepsilon }}$

Ответ

$r_2=r_1\sqrt{\frac{1}{\varepsilon }}$

ПРИМЕР 2

Задание

Бесконечная заряженная плоскость (поверхностная плотность заряда плоскости равна $\sigma$ ) создает электростатическое поле, в которое разместили заряженный шарик массы m с зарядом q, подвешенный на нити (рис.2). Какой угол образует нить с плоскостью, после того как он пришел в состояние равновесия?

Решение

Напряженность электрического поля, которое создает бесконечная равномерно заряженная плоскость равно:

$E=\frac{\sigma }{2\varepsilon {\varepsilon }_0}\left(2.1\right)$

Следовательно, модуль силы Кулона, которая действует на рассматриваемый шарик, найдем из полевой трактовки соответствующего закона как:

$F=qE=\frac{q\sigma }{2\varepsilon {\varepsilon }_0}\left(2.2\right)$

В соответствии со вторым законом Ньютона равнодействующая всех сил, приложенных к шарику в нашем случае равна нулю, так как шарик находится в состоянии покоя, запишем:

$m\overline{g}+\overline{F}+\overline{N}=0\left(2.3\right),$

где $m\overline{g}$ — сила тяжести; $\overline{N}$ — сила натяжения нити. В проекциях на оси Xи Yимеем:

$X:F-Nsin\left(\alpha \right)=0\left(2.4\right)$

$Y:\ -mg+Ncos\left(\alpha \right)=0\left(2.5\right)$

Выразим силу натяжения нити из (2.5) и подставим ее в (2.4):

$N=\frac{mg}{cos (\alpha )}\to F=mgtg\left(\alpha \right)\left(2.6\right)$

Приравняем правые части выражений (2.2) и (2.6), выразим искомый угол, имеем:

$\frac{q\sigma }{2 \varepsilon {\varepsilon }_0}=mgtg\left( \alpha \right)\to \alpha =arctg\left(\frac{q\sigma }{2\varepsilon {\varepsilon }_0mg}\right)$

Ответ

$\alpha =arctg\left(\frac{q\sigma }{2\varepsilon {\varepsilon }_0mg}\right)$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Закон Кулона

Формулировка закона Кулона

Применение закона Кулона для систем зарядов

Примеры решения задач