Закон Джоуля

Внутренняя энергия тела (системы) ( $U$ ) — это один из важнейших параметров, которые характеризуют систему в термодинамике. Она является функцией состояния. В соответствии с молекулярно — кинетической теорией внутренняя энергия тела складывается из кинетической и потенциальной энергии атомов и молекул, составляющих тело (тела). Так, в идеальном газе его внутренняя энергия есть суммарная кинетическая энергия всех его молекул (атомов).

Свой закон относительно внутренней энергии идеального газа Джоуль установил в 1845 г.

Формулировка закона Джоуля

Внутренняя энергия идеального газа не зависит от объема и является функцией его температуры.

Закон Джоуля — следствие второго начала термодинамики

Данный закон установлен эмпирически и является следствие второго начала термодинамики. Для обратимого процесса (в идеальном газе термодинамические процессы обратимы) выполняется равенство Клаузиуса, следовательно,запишем первое начало термодинамики, и получим:

$\delta Q=dU+pdV=TdS\to dU=TdS-pdV\left(1\right)$

Зная, что:

${\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T={\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V\left(2\right)$

Преобразуем выражение (1) к виду:

${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p\left(3\right)$

Для идеального газа справедливо уравнение Менделеева — Клайперона:

$pV=\frac{m}{\mu }RT\to p=\frac{m}{\mu }\frac{RT}{V}\left(4\right).$

Из выражения (4) получаем:

${\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V=\frac{m}{м}\frac{R}{V}\left(5\right)$

Подставим (5) в (3) имеем:

${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T\frac{m}{\mu }\frac{R}{V}-p=0\left(6\right)$

В математическом виде закон Джоуля можно представить выражением:

${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=0\left(7\right)$

На основании молекулярно — кинетической теории внутренняя энергия идеального газа может быть вычислено в соответствии с формулой:

$U=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu }RT\left(8\right),$

где $i$ — число степеней свободы молекулы газа; $R=8,31\frac{Dj}{mol\cdot K}$ — универсальная газовая постоянная; $m$ — масса газа, $\mu$ — молярная масса газа.

Как выполняется закон Джоуля, оценивают при помощи эффекта Джоуля — Томпсона. У идеального газа данный эффект не наблюдают.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Углекислый газ массы 44 г нагрели на 10К в условиях свободного расширения. Каково изменение внутренней энергии газа, если его считать идеальным?

Решение

Для идеального газа изменение внутренней энергии не зависит от изменения его объема, а зависит от температуры, следовательно, можно для решения задачи использовать формулу:

$\Delta U=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu }R\Delta T\left(1.1\right),$

где $i=6$ для молекулы $CO_2$ , молярная масса оксида углерода равна $\mu =44\cdot {10}^{-3}$ кг/моль

Проведем вычисления:

$\Delta U=\frac{6}{2}\cdot \frac{44\cdot {10}^{-3}}{44\cdot {10}^{-3}}8,31\cdot 10=249,3\ \left(Dj\right)$

Ответ

$\Delta U=249,3$ Дж.

ПРИМЕР 2

Задание

В идеальном газе неизменной массы проводят два процесса, которые изображены на рис.1. Определите, в каком процессе внутренняя энергия газа изменяется больше?

Решение

Внутренняя энергия является функцией состояния, следовательно, от вида процесса ее изменение не зависит.Кроме того:

$\Delta U=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu }R\left(T_2-T_1\right)\left(2.1\right)$

Начальные состояния газа одинаковы (точка A), значит надо сравнивать только конечные состояния (точки Bи C). По закону Джоуля внутренняя энергия идеального газа зависит от температуры и не зависит от объема газа, следовательно, достаточно определить какая температура выше (для точки В или точки С рис.1). Рассмотрим изохорный процесс, который можно было бы провести с данной массой идеального газа при объеме $V_2$ (прямая СВ). Изохорный процесс описывается законом Шарля: