Угол между векторами

Определение и формула угла между векторами

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Угол между двумя векторами $\bar{a}$ и $\bar{b}$ , имеющими общее начало, – это наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг точки приложения до положения, когда он станет сонаправленным с другим вектором (рис. 1).

Косинус угла между векторами $\bar{a}$ и $\bar{b}$ равен скалярному произведению векторов $\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)$ , деленному на произведение модулей (длин) этих векторов, то есть

$\cos \varphi = \frac{(\bar{a},\bar{b})}{\left|\bar{a}\right| \cdot \left|\bar{b}\right|}$

Если векторы сонаправлены, то величина угла между ними равна $0^{\circ }$ (на рисунке 2 угол между векторами $\bar{b}$ и $\bar{c}$ ). Угол между противоположно направленными векторами равен $180^{\circ }$ (если совместить начала векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ , изображенных на рисунке 2, то они будут сторонами развернутого угла).

Примеры нахождения углов между векторами

ПРИМЕР

Задание

Найти угол между векторами $\bar{a}=\left(1;\; -2\right)$ и $\bar{b}=\left(3;\; 4\right)$

Решение

Вначале вычислим скалярное произведение заданных векторов, оно равно сумме произведений соответствующих координат векторов-сомножителей:

$\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\bar{a}\cdot \bar{b}=1\cdot 3+\left(-2\right)\cdot 4=3-8=-5$

Модули заданных векторов равны корню квадратному из суммы квадратов координат:

$\left|\bar{a}\right|=\sqrt{1^{2} +\left(-2\right)^{2} } =\sqrt{1+4} =\sqrt{5} ,$

$\left|\bar{b}\right|=\sqrt{3^{2} +4^{2} } =\sqrt{9+16} =\sqrt{25} =5$

Тогда косинус искомого угла

$\cos \varphi =\frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|} =\frac{-5}{\sqrt{5} \cdot 5} =-\frac{1}{\sqrt{5} } =-\frac{\sqrt{5} }{5}$

А тогда сам угол

$\varphi =\arccos \left(-\frac{\sqrt{5} }{5} \right)=\pi -\arccos \frac{\sqrt{5} }{5}$

Ответ

$\varphi =\pi -\arccos \frac{\sqrt{5} }{5}$

ПРИМЕР

Задание

Найти косинус угла между векторами $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ , если $A\left(-1;\; 3\right),\ B\left(0;\; 2\right)$ и $C\left(-2;\; 1\right)$

Решение

Найдем координаты векторов $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ , для этого от координат конца каждого вектора отнимем соответствующие координаты его начала:

$\overline{AB}=\left(0-\left(-1\right);\; 2-3\right)=\left(1;\; -1\right),$

$\overline{AC}=\left(-2-\left(-1\right);\; 1-3\right)=\left(-1;\; -2\right)$

Искомый косинус угла между указанными векторами вычисляется по формуле:

$\cos \varphi =\frac{\overline{AB}\cdot \overline{AC}}{\left|\overline{AB}\right|\cdot \left|\overline{AC}\right|}$

Скалярное произведение

$\overline{AB}\cdot \overline{AC}=1\cdot \left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot \left(-2\right)=-1+2=1;$

длины векторов

$\left|\overline{AB}\right|=\sqrt{1^{2} +\left(-1\right)^{2} } =\sqrt{1+1} =\sqrt{2} ,$

$\left|\overline{AC}\right|=\sqrt{\left(-1\right)^{2} +\left(-2\right)^{2} } =\sqrt{1+4} =\sqrt{5}$

Таким образом, получаем

$\cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} } =\frac{1}{\sqrt{10} } =\frac{\sqrt{10} }{10}$

Ответ

$\cos \varphi =\frac{\sqrt{10} }{10}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Угол между векторами

Определение и формула угла между векторами

Примеры нахождения углов между векторами