Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Перпендикулярность векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Два вектора \bar{a} и \bar{b} называются ортогональными (перпендикулярными), если угол между ними прямой.

Перпендикулярные векторы и условие перпендикулярности

Условие ортогональности векторов. Векторы \bar{a} и \bar{b} будут ортогональными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

    \[\bar{a}\bot \bar{b}\Leftrightarrow \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=0\]

Если векторы заданы своими координатами: \bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right) и \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right), то условие ортогональности запишется в виде:

    \[a_{1} b_{1} +a_{2} b_{2} +a_{3} b_{3} =0\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Исследовать векторы \bar{a}=\left(-1;\; 2\right) и \bar{b}=\left(3;\; 1\right) на ортогональность.
Решение Согласно условию ортогональности, два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Вычислим скалярное произведение заданных векторов, оно равно сумме произведений соответствующих координат:

    \[\bar{a}\cdot \bar{b}=-1\cdot 3+2\cdot 1=-3+2=-1\ne 0\]

Поскольку в результате получили ненулевое значение, то делаем вывод, что векторы не являются ортогональными.

Ответ Векторы \bar{a} и \bar{b} не ортогональны.
ПРИМЕР
Задание При каком значении параметра \lambda векторы \bar{a}=\left(3;\; -1;\; -2\right) и \bar{b}=\left(2-\lambda ;\; \lambda ;\; 5\right) будут ортогональными?
Решение Два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=3\cdot \left(2-\lambda \right)+\left(-1\right)\cdot \lambda +\left(-2\right)\cdot 5=0\Rightarrow \]

    \[\Rightarrow 6-3\lambda -\lambda -10=0\Rightarrow -4\lambda =4\Rightarrow \lambda =-1\]

Таким образом, заданные векторы ортогональны при \lambda =-1.

Ответ \lambda =-1
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.