Ортогональные векторы

Ортогональные векторы и условие ортогональности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Два вектора $\bar{a}$ и $\bar{b}$ называются ортогональными (перпендикулярными), если угол между ними равен $90^{\circ }$ (рис. 1).

Условие ортогональности векторов. Два вектора $\bar{a}$ и $\bar{b}$ ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

$\bar{a}\bot \bar{b}\Leftrightarrow \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=0$

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание

Доказать, что векторы $\bar{a}=\left(1;\; 2;\; 0\right)$ и $\bar{b}=\left(2;\; -1;\; 4\right)$ ортогональны.

Доказательство

Вычислим скалярное произведение заданных векторов, оно равно сумме произведений соответствующих координат:

$\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=1\cdot 2+2\cdot \left(-1\right)+0\cdot 4=2-2+0=0$

Поскольку скалярное произведение заданных векторов равно нулю, то делаем вывод, что они являются ортогональными.

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР

Задание

Найти значение $m$ , при котором вектора $\bar{a}=\left(m\, ;\; -1\right)$ и $\bar{b}=\left(8;\; 16\right)$ будут ортогональны.

Решение

Заданные векторы будут ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение будет равняться нулю. Поэтому вначале вычислим скалярное произведение заданных векторов, а затем найдем те значения $m$ , для которых оно будет равняться нулю:

$\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=m\cdot 8+\left(-1\right)\cdot 16=8m-16;$

$\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=0\Rightarrow 8m-16=0\Rightarrow 8m=16\Rightarrow m=2$

Ответ

$m=2$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Ортогональные векторы

Ортогональные векторы и условие ортогональности

Примеры решения задач