Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Направление вектора

Направление вектора: основные понятия и определения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Вектором называется упорядоченная пара точек A и B (то есть точно известно, какая из точек в этой паре первая).

Первая точка называется началом вектора, а вторая – его концом.

Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается \bar{0}; его длина считается равной нулю. В противном случае, если длина вектора положительна, то его называют ненулевым.

Замечание. Если длина вектора равна единице, то он называется ортом или единичным вектором и обозначается \bar{e}.

ПРИМЕР
Задание Проверить, является ли вектор \bar{a}=\left(\frac{\sqrt{2} }{2} ;\; -\frac{\sqrt{2} }{2} ;\; 0\right) единичным.
Решение Вычислим длину заданного вектора, она равна корню квадратному из суммы квадратов координат:

    \[\left|\bar{a}\right|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^{2} +\left(-\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^{2} +0^{2} } =\sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2} +0} =1\]

Поскольку длина вектора \bar{a} равна единице, значит, вектор является ортом.

Ответ Вектор единичный.

Ненулевой вектор также можно определить как направленный отрезок.

Замечание. Направление нулевого вектора не определено.

Направляющие косинусы вектора

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Направляющими косинусами некоторого вектора \bar{a} называются косинусы углов, которые вектор образует с положительными направлениями координатных осей.

Замечание. Однозначно направление вектора задают его направляющие косинусы.

Чтобы найти направляющие косинусы вектора \bar{a} необходимо вектор нормировать (то есть вектор поделить на его длину):

    \[\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right)\Rightarrow \cos \alpha =\frac{a_{1}}{\left|\bar{a}\right|} ,\; \cos \beta =\frac{a_{2}}{\left|\bar{a}\right|} ,\; \cos \gamma =\frac{a_{3}}{\left|\bar{a}\right|} \]

Замечание. Координаты единичного вектора \bar{e} равны его направляющим косинусам.

ТЕОРЕМА
(Свойство направляющих косинусов). Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

    \[\cos ^{2} \alpha +\cos ^{2} \beta +\cos ^{2} \gamma =1\]

ПРИМЕР
Задание Найти направляющие косинусы вектора \bar{a}=\left(3;\; 4\right)
Решение Вначале найдем модуль рассматриваемого вектора:

    \[\left|\bar{a}\right|=\sqrt{3^{2} +4^{2} } =\sqrt{9+14} =\sqrt{25} =5\]

Тогда

    \[\cos \alpha =\frac{3}{5} ,\; \cos \beta =\frac{4}{5} \]

Ответ \cos \alpha =\frac{3}{5} ,\; \cos \beta =\frac{4}{5}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.