Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Линейная зависимость и независимость векторов

Определения и формулы линейно зависимых и независимых векторов

Набор векторов \bar{a}_{1} ,\; \bar{a}_{2} ,...,\; \bar{a}_{n} называется системой векторов.

Линейной комбинацией системы векторов \bar{a}_{1} ,\; \bar{a}_{2} ,...,\; \bar{a}_{n} называется выражение вида

    \[\lambda _{1} \bar{a}_{1} +\lambda _{2} \bar{a}_{2} +...+\lambda _{n} \bar{a}_{n} \ \ \ \ (1)\]

Линейная комбинация (1) называется тривиальной, если все ее коэффициенты \lambda _{1} ,\; \lambda _{2} ,...,\; \lambda _{n} равны нулю одновременно:

    \[0\cdot \bar{a}_{1} +0\cdot \bar{a}_{2} +...+0\cdot \bar{a}_{n} ;\]

в противном случае, если хотя бы один из коэффициентов \lambda _{1} ,\; \lambda _{2} ,...,\; \lambda _{n} не равен нулю, то линейная комбинация (1) называется нетривиальной.

Например. Нетривиальной линейной комбинацией некоторой системы векторов \bar{a}_{1} ,\; \bar{a}_{2} ,...,\; \bar{a}_{n} есть выражение вида

    \[0\cdot \bar{a}_{1} -\bar{a}_{2} +3\cdot \bar{a}_{3} \]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Векторы \bar{a}_{1} ,\; \bar{a}_{2} ,...,\; \bar{a}_{n} называются линейно независимыми, если только их тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Векторы \bar{a}_{1} ,\; \bar{a}_{2} ,...,\; \bar{a}_{n} называются линейно зависимыми, если хотя бы одна их нетривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов

  1. Если в систему векторов \bar{a}_{1} ,\; \bar{a}_{2} ,...,\; \bar{a}_{n} входит нулевой вектор, то она является линейно зависимой.
  2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.
  3. Если система векторов содержит два пропорциональных вектора \bar{a} и \bar{b}=\lambda \bar{a}, то она является линейно зависимой.
  4. Система из n>1 векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.
  5. Если система векторов \bar{a}_{1} ,\; \bar{a}_{2} ,...,\; \bar{a}_{n} линейно независима и после присоединения к ней вектора \bar{b} она становится линейно зависимой, то вектор \bar{b} можно разложить по векторам этой системы и притом единственным образом.

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Известно, что векторы \bar{a} и \bar{b} линейно независимы. Будут ли линейно независимыми векторы \bar{x}=2\bar{a}-3\bar{b} и \bar{y}=\bar{a}+\bar{b}?
Решение Поскольку по условию векторы \bar{a} и \bar{b} линейно независимы, то для них имеет место нулевая тривиальная линейная комбинация, равная нулевому веткору:

    \[0\cdot \bar{a}+0\cdot \bar{b}=\bar{0}\ \ \ \ (2)\]

Составим тривиальную линейную комбинацию векторов \bar{x}=2\bar{a}-3\bar{b} и \bar{y}=\bar{a}+\bar{b}:

    \[\lambda _{1} \bar{x}+\lambda _{2} \bar{y}=\bar{0}\Leftrightarrow \lambda _{1} \cdot \left(2\bar{a}-3\bar{b}\right)+\lambda _{2} \cdot \left(\bar{a}+\bar{b}\right)=\bar{0}\]

Соберем коэффициенты при векторах \bar{a} и \bar{b}:

    \[\left(2\lambda _{1} +\lambda _{2} \right)\bar{a}+\left(-3\lambda _{1} +\lambda _{2} \right)=\bar{0}\]

Сравнивая полученную тривиальную линейную комбинацию с (2), делаем вывод, что

    \[\left\{\begin{array}{l} {2\lambda _{1} +\lambda _{2} =0,} \\ {-3\lambda _{1} +\lambda _{2} =0.} \end{array}\right. \]

Однородная система линейных алгебраических уравнений имеет ненулевое решение, если определитель ее матрицы равен нулю. Вычислим этот определитель:

    \[\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -3 & 1 \end{array}\right|=2\cdot 1-\left(-3\right)\cdot 1=2+3=5\ne 0\]

Таким образом, записанная однородная система имеет только тривиальное решение, то есть \lambda _{1} =\lambda _{2} =0. А тогда линейная комбинация для векторов \bar{x} и \bar{y} принимает вид:

    \[0\cdot \bar{x}+0\cdot \bar{y}=\bar{0}\]

Поскольку только нулевая линейная комбинация равна нулевому вектору, то векторы \bar{x}=2\bar{a}-3\bar{b} и \bar{y}=\bar{a}+\bar{b} линейно независимы.

Ответ Линейно независимы.
ПРИМЕР
Задание Исследовать систему векторов \left\{\bar{a}=\left(-1;\; 0;\; 3\right),\; \bar{b}=\left(0;\; 1;\; 3\right),\; \bar{c}=\left(1;\; -1;\; 4\right)\right\} на линейную зависимость.
Решение Три вектора будут линейно зависимыми, если они будут компланарными. Тройка векторов будет компланарна, если смешанное произведение указанных векторов равно нулю:

    \[\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 4 \end{array}\right|=-1\cdot 1\cdot 4+0\cdot \left(-1\right)\cdot 3+0\cdot 3\cdot 1-1\cdot 1\cdot 3-\left(-1\right)\cdot 3\cdot \left(-1\right)-0\cdot 0\cdot 4=-10\ne 0\]

То есть смешанное произведение не равно нулю, тогда векторы некомпланарные, а тогда они являются линейно независимыми.

Ответ Линейно независимы.
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.