Компланарные векторы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости, называют компланарными векторами (рис. 1).

ЗАМЕЧАНИЕ

Любые два вектора всегда компланарны, поскольку существует плоскость, параллельная им или проходящая через них.

Критерий компланарности трех векторов. Если смешанное произведение $\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)$ трех векторов равно нулю, то эти векторы компланарны.

Условия компланарности векторов

Условие компланарности 1. Три вектора компланарны, если они линейно зависимы.

Условие компланарности 2. $n$ векторов компланарны, если среди них не более двух линейно независимых вектора.

Условие компланарности 3. Если хотя бы один из трёх векторов является нулевым, то эти три вектора компланарны.

Условие компланарности 4. Если тройка векторов содержит пару коллинеарных векторов, то она компланарна.

В трехмерном пространстве три некомпланарных вектора $\bar{a},\; \bar{b}$ и $\bar{c}$ образуют базис.

Примеры решения задач с компланарными векторами

ПРИМЕР

Задание

Исследовать векторы $\bar{a}=\left(1;\; 2;\; 3\right),\ \bar{b}=\left(1;\; 1;\; 1\right)$ и $\bar{c}=\left(1;\; 2;\; 1\right)$ на компланарность.

Решение

Векторы будут компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Вычислим смешанное произведение заданных векторов, для этого составим определитель, по строкам которого записаны координаты векторов-сомножителей:

$\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right|=1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 1\cdot 1-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-1\cdot 2\cdot 1=2\ne 0$

Поскольку смешанное произведение заданных векторов не равно нулю, то эти векторы некомпланарные.

Ответ

Векторы некомпланарны.

ПРИМЕР

Задание

Доказать что три вектора $\bar{a}=\left(1;\; -1;\; 2\right),\ \bar{b}=\left(0;\; 1;\; -1\right)$ и $\bar{c}=\left(2;\; -2;\; 4\right)$ являются компланарными.

Доказательство.

Найдем смешанное произведение указанных векторов:

$\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 4 \end{array}\right|=1\cdot 1\cdot 4+0\cdot \left(-2\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot 2-2\cdot 1\cdot 2-\left(-2\right)\cdot \left(-1\right)\cdot 1-0\cdot \left(-1\right)\cdot 4=0$

Поскольку смешанное произведение трех векторов равно нулю, то это означает, что они являются компланарными.

Что и требовалось доказать.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Компланарные векторы

Условия компланарности векторов

Примеры решения задач с компланарными векторами