Единичный вектор

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Единичным вектором или ортом $\bar{e}$ называется вектор единичной длины.

ПРИМЕР

Задание

Проверить, является ли заданный вектор $\bar{a}=\left(\frac{\sqrt{3} }{2} ;\; \frac{1}{2} \right)$ единичным.

Решение

Найдем модуль заданного вектора, он равен корню квадратному из суммы квадратов координат:

$\left|\bar{a}\right|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3} }{2} \right)^{2} +\left(\frac{1}{2} \right)^{2} } =\sqrt{\frac{3}{4} +\frac{1}{4} } =\sqrt{\frac{4}{4} } =1$

Поскольку длина вектора $\bar{a}$ равна единице, то он является ортом.

Ответ

Вектор единичный.

Чтобы найти единичный вектор $\bar{e}$ , коллинеарный с заданным вектором $\bar{a}$ , необходимо вектор $\bar{a}$ поделить на его длину:

$\bar{e}=\frac{\bar{a}}{\left|\bar{a}\right|}$

Операция получения из вектора $\bar{a}$ единичного вектора называется нормированием вектора $\bar{a}$ .

ПРИМЕР

Задание

Найти единичный вектор $\bar{e}$ , соответствующий вектору $\bar{a}=\left(1;\; -2;\; 3\right)$ .

Решение

Чтобы найти единичный вектор, коллинеарный вектору $\bar{a}$ , необходимо этот вектор поделить на его длину:

$\bar{e}=\frac{\bar{a}}{\left|\bar{a}\right|}$

Модуль вектора $\bar{a}$ равен корню квадратному из суммы квадратов координат, то есть

$\left|\bar{a}\right|=\sqrt{1^{2} +\left(-2\right)^{2} +3^{2} } =\sqrt{1+4+9} =\sqrt{14}$

Тогда искомый единичный вектор

$\bar{e}=\frac{\left(1;\; -2;\; 3\right)}{\sqrt{14} } =\left(\frac{1}{\sqrt{14} } ;\; \frac{-2}{\sqrt{14} } ;\; \frac{3}{\sqrt{14} } \right)=\left(\frac{\sqrt{14} }{14} ;\; -\frac{\sqrt{14} }{7} ;\; \frac{3\sqrt{14} }{14} \right)$

Ответ

$\bar{e}=\left(\frac{\sqrt{14} }{14} ;\; -\frac{\sqrt{14} }{7} ;\; \frac{3\sqrt{14} }{14} \right)$ .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Единичный вектор