Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Волновое уравнение

Природа волнового процесса

Волновой процесс может иметь самую разнообразную природу: в виде волн распространяются свет и звуковое поле, волновую природу имеют колебания вероятности и механические движения таких объектов, как струна. Электромагнитные волны используются в быту (сотовая связь, радиотехника, СВЧ-печи), в медицине (рентгеновские аппараты), в промышленности и науке (электромагнитные системы управления, лазеры и даже гамма-телескопы).

Волновой процесс отличается от колебательного тем, что изменяющаяся величина перемещается, «оторвавшись» от своего источника. Обычно при волновом движении переносится только энергия, однако в отдельных случаях (излучение газа в вакуум, процессы горения) имеет место и перенос массы.

Волновое дифференциальное уравнение

Описывать волны сложно: для них не всегда можно выделить даже общие свойства. Движение волны описывается с помощью волнового дифференциального уравнения:

    \[\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2 } +\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2 } +\frac{\partial ^2 u}{\partial z^2 } =\frac{1}{v^2 } \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2 } \]

В этом уравнении u – величина, которая изменяется, v – скорость волны, x, y, z и t – пространственная и временная координата.

Решение волнового уравнения

Решение этого уравнение может оказаться весьма сложным. Поэтому на практике часто используют его частное решение – уравнение плоской волны. Это волна с фронтом в виде бесконечной плоскости, движущаяся перпендикулярно своему фронту.

Волновое уравнение

В природе плоских волн не существует, однако эту модель удобно использовать для расчётов. А излучение лазера или зеркальной антенны с достаточной точностью можно считать плоским.

Уравнение плоской волны гармоническое и выглядит вот так:

    \[A(x,t) =A_0 \cos(\omega t -kx +\varphi _0 )\]

Здесь А – изменяющаяся величина, А0 – ее амплитуда, \varphi _0начальная фаза колебаний. Волновое число k можно рассчитать, зная длину волны \lambda:

    \[k= \frac{2\pi }{\lambda } \]

Циклическая частота связана со скоростью фронта \nu:

    \[\omega =kv\]

А скорость фронта волны, в свою очередь, связана с частотой:

    \[\nu =v\lambda \]

Чтобы математически описать распространение звука, работу антенны или лампы накаливания, удобно использовать уравнение сферической волны:

    \[A(r,t) =\frac{A_0 }{r} \cos(\omega t -kr +\varphi _0 )\]

Здесь r – радиус (симметричная координата), а \frac{A_0 }{r} — амплитуда сферической волны.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Плоская волна распространяется с периодом 1,2 с и скоростью 15 м/с. Амплитуда колебаний равна 2 см. Когда от начала колебаний прошло 4 с, оказалось, что точка, находящаяся на 45 м от источника, сместилась на некоторое значение A. Чему равно A?
Решение В уравнение плоской волны выразим циклическую частоту через период (при этом начальная фаза равна нулю):

    \[A(x,t) =A_0 \cos(\omega t -kx )=A_0 \cos(\frac{2\pi }{T} t-kx )\]

Нужно выразить волновое число через известные величины:

    \[k= \frac{\omega }{v} \]

Тогда получим формулу:

    \[A(x,t) =A_0 \cos(\frac{2\pi }{T} (t -\frac{x}{v} ))\]

Внесем в уравнение численные величины:

A(x,t) =0,02 \cdot \cos(\frac{2\pi }{12 } (4 -\frac{45}{15 } ))=-0,01 м.

Ответ A(x,t) =- 0,01 м
ПРИМЕР 2
Задание Есть упругая однородная среда, в которой распространяются две волны: одна вдоль оси абсцисс, другая вдоль оси ординат. Их движение задано уравнениями: A_1 =\cos(\omega t -kx ), A_2 =\cos(\omega t -ky ). Волны поперечные, направление колебаний одинаковое. Как движутся частицы среды в плоскости XY?
Решение Для волн работает принцип суперпозиции, поэтому уравнение результирующего процесса – это сумма двух сложенных уравнений:

    \[A=\cos(\omega t -kx )+\cos(\omega t -ky )=2\cos (\omega t -k\frac{x+y }{2} )\cos k\frac{y-x}{2} \]

Можем заметить, что формула равна 0 (то есть колебания отсутствуют) в точках, где \cos k\frac{y-x}{2}=0. Это точки \frac{\pi }{2} +\pi n, где n=0,1,2…

Выразим волновое число через длину волны: k= \frac{2\pi }{\lambda }. Тогда мы получим уравнение прямых, вдоль которых не колеблются частицы:

    \[y=x+\lambda ( \frac{1}{2} \pm n) \]

На рисунке эти прямые показаны пунктиром.

Пример волнового уравнения

А если \cos k\frac{y-x}{2} =\pm 1, частицы движутся с максимальным отклонением:

    \[k\frac{y-x}{2} =\pm n\lambda,\ n=0,1,2\dots \]

    \[y=x\pm n\lambda \]

На рисунке эти точки показаны как сплошные линии.

Ответ Отсутствие колебаний – точки y=x+\lambda ( \frac{1}{2} \pm n). Максимальные колебания – точки y=x\pm n\lambda