Волновое уравнение

Природа волнового процесса

Волновой процесс может иметь самую разнообразную природу: в виде волн распространяются свет и звуковое поле, волновую природу имеют колебания вероятности и механические движения таких объектов, как струна. Электромагнитные волны используются в быту (сотовая связь, радиотехника, СВЧ-печи), в медицине (рентгеновские аппараты), в промышленности и науке (электромагнитные системы управления, лазеры и даже гамма-телескопы).

Волновой процесс отличается от колебательного тем, что изменяющаяся величина перемещается, «оторвавшись» от своего источника. Обычно при волновом движении переносится только энергия, однако в отдельных случаях (излучение газа в вакуум, процессы горения) имеет место и перенос массы.

Волновое дифференциальное уравнение

Описывать волны сложно: для них не всегда можно выделить даже общие свойства. Движение волны описывается с помощью волнового дифференциального уравнения:

$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2 } +\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2 } +\frac{\partial ^2 u}{\partial z^2 } =\frac{1}{v^2 } \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2 }$

В этом уравнении u – величина, которая изменяется, v – скорость волны, x, y, z и t – пространственная и временная координата.

Решение волнового уравнения

Решение этого уравнение может оказаться весьма сложным. Поэтому на практике часто используют его частное решение – уравнение плоской волны. Это волна с фронтом в виде бесконечной плоскости, движущаяся перпендикулярно своему фронту.

В природе плоских волн не существует, однако эту модель удобно использовать для расчётов. А излучение лазера или зеркальной антенны с достаточной точностью можно считать плоским.

Уравнение плоской волны гармоническое и выглядит вот так:

$A(x,t) =A_0 \cos(\omega t -kx +\varphi _0 )$

Здесь А – изменяющаяся величина, А₀ – ее амплитуда, $\varphi _0$ – начальная фаза колебаний. Волновое число k можно рассчитать, зная длину волны $\lambda$ :

$k= \frac{2\pi }{\lambda }$

Циклическая частота связана со скоростью фронта $\nu$ :

$\omega =kv$

А скорость фронта волны, в свою очередь, связана с частотой:

$\nu =v\lambda$

Чтобы математически описать распространение звука, работу антенны или лампы накаливания, удобно использовать уравнение сферической волны:

$A(r,t) =\frac{A_0 }{r} \cos(\omega t -kr +\varphi _0 )$

Здесь r – радиус (симметричная координата), а $\frac{A_0 }{r}$ — амплитуда сферической волны.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Плоская волна распространяется с периодом 1,2 с и скоростью 15 м/с. Амплитуда колебаний равна 2 см. Когда от начала колебаний прошло 4 с, оказалось, что точка, находящаяся на 45 м от источника, сместилась на некоторое значение $A.$ Чему равно $A?$

Решение

В уравнение плоской волны выразим циклическую частоту через период (при этом начальная фаза равна нулю):

$A(x,t) =A_0 \cos(\omega t -kx )=A_0 \cos(\frac{2\pi }{T} t-kx )$

Нужно выразить волновое число через известные величины:

$k= \frac{\omega }{v}$

Тогда получим формулу:

$A(x,t) =A_0 \cos(\frac{2\pi }{T} (t -\frac{x}{v} ))$

Внесем в уравнение численные величины:

$A(x,t) =0,02 \cdot \cos(\frac{2\pi }{12 } (4 -\frac{45}{15 } ))=-0,01$ м.

Ответ

$A(x,t) =- 0,01$ м

ПРИМЕР 2

Задание

Есть упругая однородная среда, в которой распространяются две волны: одна вдоль оси абсцисс, другая вдоль оси ординат. Их движение задано уравнениями: $A_1 =\cos(\omega t -kx )$ , $A_2 =\cos(\omega t -ky )$ . Волны поперечные, направление колебаний одинаковое. Как движутся частицы среды в плоскости XY?

Решение

Для волн работает принцип суперпозиции, поэтому уравнение результирующего процесса – это сумма двух сложенных уравнений:

$A=\cos(\omega t -kx )+\cos(\omega t -ky )=2\cos (\omega t -k\frac{x+y }{2} )\cos k\frac{y-x}{2}$

Можем заметить, что формула равна 0 (то есть колебания отсутствуют) в точках, где $\cos k\frac{y-x}{2}$ =0. Это точки $\frac{\pi }{2} +\pi n$ , где n=0,1,2…