Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнения математической физики

Дифференциальные уравнения математической физики

Математические модели естественнонаучных явлений и процессов зачастую представляют собой задачи, содержащие дифференциальные уравнения с частными производными первого и второго порядков. Дифференциальные уравнения существенные для физики, механики техники называют дифференциальными уравнениями математической физики.

Каждое уравнение математической физики описывает бесконечное множество качественно аналогичных явлений или процессов, так как дифференциальные уравнения, которыми занимается математическая физика, имеют бесконечное множество частных решений. Конкретное решение, описывающее рассматриваемое физическое явление, выделяется из множества частных решений с помощью начальных и граничных условий.

Общий вид дифференциального уравнения в частных производных первого порядка относительно неизвестной искомой функции u\left(x_1,\ x_{2,\ \dots ,}x_n\right) таков:

    \[F\ \left(x_1,\ x_{2,\ \dots ,}x_n,\ u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\frac{\partial u}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial u}{\partial x_n}\right)=0\ \qquad (1)\]

Если F является линейной функцией относительно старших производных, то есть:

    \[X_1\left(x_1,\ x_{2,\ \dots ,}x_n,\ u\right)\frac{\partial u}{\partial x_1}+X_2\left(x_1,\ x_{2,\ \dots ,}x_n,\ u\right)\frac{\partial u}{\partial x_2}+\dots +X_n\left(x_1,\ x_{2,\ \dots ,}x_n,\ u\right)\frac{\partial u}{\partial x_n}+P\left(x_1,\ x_{2,\ \dots ,}x_n,\ u\right)=\]

    \[=q{(x}_1,\ x_{2,\ \dots ,}x_n)\ \qquad (2)\]

данное уравнение называется квазилинейным дифференциальным уравнением.

Если функции X_1,\ X_2,\dots ,\ X_n не зависят от u, а зависимость P от u линейна, то есть P\left(x_1,\ x_{2,\ \dots ,}x_n,\ u\right)=Q\left(x_1,\ x_{2,\ \dots ,}x_n\right), тогда уравнение (2) называется линейным. Если q{(x}_1,\ x_{2,\ \dots ,}x_n)\equiv 0, то уравнение (2) называется однородным линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка.

Решений уравнений математической физики

Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

    \[a\left(x,y\right)\frac{\partial u}{\partial x}+b\left(x,y\right)\frac{\partial u}{\partial y}=c\left(x,y,u\right) \qquad (3)\]

Для получения общего решения уравнения (3) рассматривают характеристическую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

    \[\frac{dx}{a}=\frac{dy}{b}=\frac{du}{c}\ \qquad (4)\]

Если с=0, то система сводится к одному уравнению \frac{dx}{a}=\frac{dy}{b}.

Если f\left(x,y\right)=C общий интеграл уравнения, тогда u=w(f\left(x,y\right)) – общее решение.

Само дифференциальное уравнение содержит в себе только самую общую информацию об описываемом процессе. Необходимо задание начальных и граничных условий, для конкретизации.

Дифференциальные уравнения математической физики второго порядка

Большое количество процессов и явлений в физике описывается с помощью дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, это связано с тем, что фундаментальные законы физики – законы сохранения – записываются в терминах вторых производных. Методы решения уравнений математической физики зависят от типа к которому принадлежит рассматриваемое уравнение. Выделяют три основных типа дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, поиск решения которых имеют качественные различия: уравнения параболического, гиперболического и эллиптического типов.

Рассмотрим линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными:

    \[a\left(x,y\right)\frac{{\partial}^2w}{\partial x^2}+2b\left(x,y\right)\frac{{\partial}^2w}{\partial x\partial y}+c\left(x,y\right)\frac{{\partial}^2w}{\partial y^2}=F\left(x,y,w,\frac{\partial w}{\partial x},\ \frac{\partial w}{\partial y}\right),\ \qquad (5)\]

где a, b, c некоторые функции от x, y, имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно.

Уравнение (5) принадлежит в точке (x, y)

  1. параболическому типу, если b^2-ac=0; Канонический вид такого уравнения:

        \[\frac{{\partial}^2w}{\partial {\eta}^2}=F_1\left(\xi ,\ \eta ,\ w,\ \frac{\partial w}{\partial \xi},\ \frac{\partial w}{\partial \eta}\right)\ \qquad (6)\]

    где \xi =\varphi \left(x,y\right),\  зc=\eta (x,y)— независимые переменные. Кроме того \eta (x,y)— дважды дифференцируемая функция в рассматриваемой области. Уравнение (6) так же как и уравнение теплопроводности имеет только один член высшей производной.

  2. гиперболическому типу, если b^2-ac>0; Канонический вид такого уравнения:

    первая каноническая форма:

        \[\frac{{\partial}^2w}{\partial \xi \partial \eta}=F_2\left(\xi ,\ \eta ,\ w,\ \frac{\partial w}{\partial \xi},\ \frac{\partial w}{\partial \eta}\right)\ \qquad (7)\]

    где \xi =\varphi \left(x,y\right), \eta =\Psi (x,y)— независимые переменные,

    вторая каноническая форма:

        \[\frac{{\partial}^2w}{\partial t^2}-\frac{{\partial}^2w}{\partial z^2}=F_3\left(t,\ z,\ w,\ \frac{\partial w}{\partial t},\ \frac{\partial w}{\partial z}\right)\ \qquad (8)\]

    где \xi =t+z,\ \eta =t-z,\ F_3={4F}_2. Левая часть уравнения (8) полностью совпадает с частью волнового уравнения.

  3. эллиптическому типу, если {b}^2-ac<0; Канонический вид такого уравнения:

        \[\frac{{\partial}^2w}{\partial {\xi}^2}+\frac{{\partial}^2w}{\partial {\eta}^2}=F_3\left(\xi ,\ \eta ,\ w,\ \frac{\partial w}{\partial \xi},\ \frac{\partial w}{\partial \eta}\right)\ \qquad (9)\]

    где \xi =\varphi \left(x,y\right), \eta =\Psi (x,y)— независимые переменные. Левая часть этого уравнения совпадает с левой частью уравнения Лапласа.

Для того чтобы привести уравнение (5) к каноническому виду, надо записать так называемое характеристическое уравнение (10):

    \[a\ dy^2-2b\ dxdy+cdx^2=0\ (10)\]

которое распадается на два уравнения:

    \[a\ dy-(b+\sqrt{b^2-ac}dx=0\ \qquad (11)\ \]

    \[a\ dy-(b-\sqrt{b^2-ac}dx=0\ \qquad (12)\]

и найти их общие интегралы.

В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка параболического типа с n независимыми переменными можно записать так:

    \[\frac{\partial w}{\partial t}-L_{x,t}\left[w\right]=\Phi \left(x,t\right)\ (13)\]

где

    \[L_{x,t}\left[w\right]\equiv \sum^n_{1,j-1}{a_{i,j}\left(x,t\right)\frac{{\partial}^2w}{\partial x_i\partial x_j}}+\sum^n_{i-1}{b_i\left(x,t\right)\frac{\partial w}{\partial x_i}}+c\left(x,t\right)w\ (14)\]

    \[x=\left\{x_1,\ x_2,\dots ,\ x_n\right\},\ \sum^n_{i,j-1}{a_{i,j}\left(x,t\right)}{\xi}_i{\xi}_j\ge \sigma \sum^n_{i-1}{{{\xi}_i}^2,}\ \sigma >0\]

Уравнения параболического типа описывают неустановившиеся тепловые, диффузионные процессы, которые зависят от времени.

Уравнение (13) называют однородным, если \Phi \left(x,t\right)=0.

Довольно часто при решении уравнения (13) ставят так называемую задачу Коши. В которой, требуется найти функцию w, удовлетворяющую уравнению (13) (при t\ge 0,\ x\in R^n,\ R^n-эвклидово пространство) и начальном условии w=f(x) при t=0 и граничному условию:

    \[\Gamma_{x,t}(w)=g\left(x,t\right),\ x\in S\ \left(t>0\right)\qquad (14)\]

В общем случае \Gamma_{x,t}— линейный дифференциальный оператор первого порядка по пространственным переменным, коэффициенты которого зависят от x и t.

Начальное условие называют однородным, если f(x)=0. Граничное условие называют однородным, если g\left(x,t\right)=0.

В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка гиперболического типа с n независимыми переменными можно записать так:

    \[\frac{{\partial}^2w}{\partial t^2}+\varphi \left(x,t\right)\frac{\partial w}{\partial t}-L_{x,t}\left[w\right]=\Phi \left(x,t\right)\ (15)\]

где линейный дифференциальный оператор L_{x,t}\left[w\right] определен формулам (14). Уравнениями гиперболического типа описываются неустановившиеся волновые процессы, зависящие от времени.

При решении уравнения (15) ставят задачу Коши. В которой, требуется найти функцию w, удовлетворяющую уравнению (15) (при t>0,\ x\in R^n) и начальным условиям:

    \[w=f_0(x),\ t=0\]

    \[{\partial}_iw=f_1(x),\ t=0\ (16)\]

Граничные условия задаются (14).

Уравнения эллиптического типа

В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка эллиптического типа с n независимыми переменными можно записать в виде:

    \[-L_x\left[w\right]=\Phi (x)\qquad (17)\]

где

    \[L_x\left[w\right]\equiv \sum^n_{1,j-1}{a_{i,j}(x)\frac{{\partial}^2w}{\partial x_i\partial x_j}}+\sum^n_{i-1}{b_i(x)\frac{\partial w}{\partial x_i}}+c(x)w\ \qquad (18)\]

    \[\sum^n_{i,j-1}{a_{i,j}(x)}{\xi}_i{\xi}_j\ge \sigma \sum^n_{i-1}{{{\xi}_i}^2,}\ \sigma >0\]

Уравнения эллиптического типа описывают установившиеся тепловые, диффузионные и другие процессы, которые не зависят от времени. Уравнение (18) называется однородным, если \Phi (x)\equiv 0.

Граничные условия для эллиптического уравнения записывают так:

    \[\Gamma_x(w)=g(x),\ x\in S\ \qquad (19)\]

В общем случае \Gamma_{x}— линейный дифференциальный оператор первого порядка.

Наиболее часто в прикладных примерах при описании различных процессов, происходящих в изотропных средах коэффициенты

    \[{a_{ij}(x.t)=a(x,t)\delta}_{ij},\ {\delta}_{ij}=\left\{ \begin{array}{c} 1,\ i=j \\  0,\ i\ne j \end{array} \right\]

таковыми и мы будем считать коэффициенты a_{ij}.

Для любых уравнений в частных производных второго порядка в зависимости от вида граничных условий принято выделять четыре типа краевых задач.

Первая краевая задача. На границе области S функция w(x,t) принимает заданные значения:

    \[w\left(x,t\right)=g_1\left(x,t\right),\ x\in S\qquad (20)\]

Вторая краевая задача. На границе области S задается производная по (внешней) нормали:

    \[\frac{\partial w}{\partial N}=g_2\left(x,t\right),\ x\in S\qquad (21)\]

Третья краевая задача. На границе области S задана линейная связь между искомой функцией и ее производной по нормали:

    \[\frac{\partial w}{\partial N}+k\left(x,t\right)w=g_3\left(x,t\right),\ x\in S\ \qquad (22)\]

Чаще всего k\left(x,t\right)=const. В задачах массопереноса, где w – концентрация, граничное условие (22) при g_3\left(x,t\right)\equiv 0 описывает поверхностную химическую реакцию.

Смешанные краевые задачи. В этом случае на различных участках границы S задают различные граничные условия.

Методы решения уравнений математической физики

Все методы решения уравнений математической физики можно разделить на две большие группы:

  1. аналитические методы решения уравнений, которые основаны на сведении уравнения в частных производных к обыкновенному или системе обыкновенных уравнений;
  2. численные методы решения (с помощью ЭВМ).

Среди аналитических методов решения уравнений следует выделить:

  1. Метод характеристик.
  2. Метод разделения переменных.
  3. Метод Фурье.
  4. Метод Деламбера.
  5. Метод интегральных преобразований.
  6. Преобразование Лапласа.
  7. Представление решений через функцию Грина.

Среди численных методов решения уравнений математической физики следует выделить:

  1. метод сеток;
  2. метод конечных разностей;
  3. методы расщепления: метод переменных направлений, метод дробных шагов;
  4. методы Эйлера;
  5. методы Рунге-Кутта;
  6. метод Адамса;
  7. символьно-численный метод.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найдите функцию w=w(x,t), как решение уравнения w_t=-aw_x, где a>0,\ a=const, при начальном условии w\left(x,0\right)=f(x)= \cos (x).
Решение w_t+aw_x=0 – это уравнение (уравнение переноса) в частных производных:

    \[\frac{\partial w}{\partial t}+a\frac{\partial w}{\partial x}=0\qquad (1.1)\]

Характеристическое уравнение для (1.1) имеет вид:

    \[\frac{dt}{1}=\frac{dx}{a}\qquad (1.2)\]

d\left(x-at\right)=0\to x-at=C, где C- произвольная постоянная.

Общее решение уравнения (1.1), имеет вид бегущей волны:

    \[w\left(x,t\right)=\varphi (x-at)\qquad (1.3)\]

из (1.3) видно, что а — скорость переноса. Так как a >0, то волна бежит слева направо. Подставим начальное условие, получим:

    \[w\left(x,0\right)=\varphi (x)=f(x)\qquad (1.4)\]

Получаем: w\left(x,t\right)=f\left(x-at\right)= \cos (x-at).

Ответ Функция w\left(x,t\right)= \cos (x-at), является решением уравнения переноса при заданном начальном условии.
ПРИМЕР 2
Задание Решить задачу об остывании шара радиуса R, на поверхности которого поддерживается температура равная нулю. Начальная температура шара равна {\left.u\right|}_{t=0}=\varphi (r),\ 0\le r\le R,\ 0\le \varphi \le 2\pi
Уравнения математической физики

рис. 1

Решение В этом случае задача приводится к интегрированию уравнения теплопроводности:

    \[\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\left(\frac{{\partial}^2u}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\right),\ t>0\qquad (2.1)\]

при начальном условии {\left.u\right|}_{t=0}=\varphi (r)

и при граничном условии u(R,t)=0

Задачу можно решать методом Фурье (разделения переменных), представляя частное решение уравнения (2.1), удовлетворяющее граничному условию, в виде произведения:

    \[u\ (r,\ t)\ =v\ (r)\ T\ (t) \qquad (2.2)\]

Подставим (2.2) в (2.1), получим:

    \[v\ (r)\frac{\partial T}{\partial t}=a^2\left(T\frac{{\partial}^2v}{\partial r^2}+\frac{2}{r}T\frac{\partial v}{\partial r}\right)\to \frac{1}{a^2}\frac{1}{T}\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{v}\left(\frac{{\partial}^2v}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial v}{\partial r}\right)=-\lambda \qquad (2.3)\]

Таким образом, задача на собственные значения имеет вид:

    \[\frac{{\partial}^2v}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial v}{\partial r}+\lambda v=0,\ 0\le r\le R,\ v(R)=0\ \qquad (2.4)\]

Полагая w = rv, приходим к следующей задаче:

    \[\frac{{\partial}^2w}{\partial r^2}+\lambda w=0,\ w(0)=0,\ w(R)=0\ \qquad (2.5)\]

Задача имеет дискретный спектр собственных значений {\lambda}_{1,}{\lambda}_{2,}\dots {\lambda}_{n.} и собственных функций w_{1,}w_{2,}\dots w_{n.}

Собственные значения и собственные функции краевой задачи, как известно, даются формулами:

    \[{\lambda}_n={\left(\frac{n\pi}{R}\right)}^2,\ w_n= \sin \frac{n\pi}{R}r\]

Кроме того, из (2.3) имеем:

\frac{1}{a^2}\frac{1}{T}\frac{\partial T}{\partial t}=-\lambda. Общее решение такого уравнения: T(t)=Ce^{-\lambda a^2t},\ C=const.

Так, можно построить набор частных решений вида (2.2) :

    \[u_n \left(r, t\right)=C_nv_n(r)e^{-{\lambda}_na^2t},\ n=1,2,\dots \qquad (2.6)\]

Суперпозиция u_n образует ряд: u\left(r,t\right)=\sum^{\infty}_{n=1}{C_nv_n(r)e^{-{\lambda}_na^2t}} (2.7)

Ряд (2.7) удовлетворяет уравнению (2.1) и граничному условию.

Выберем C_n, используя начальное условие, подставим в (2.7) t=0:

    \[\sum^{\infty}_{n=1}{C_nv_n(r)}=\varphi (r)\ \qquad (2.8)\]

В соответствии с теоремой Стеклова, в этом разложении функции \varphi (r) в ряд по собственным функциям задачи (2.4) коэффициенты C_n могут быть найдены по формуле:

    \[C_n=\frac{2}{R}\int^R_0{\varphi (r)r \sin \frac{n\pi r}{R}}dr\]

Получаем:

    \[T_n=\frac{2}{R}\int^R_0{\varphi (r)r \sin \frac{n\pi r}{R}}dr\cdot e^{-{\lambda}_na^2t}\]

    \[v_n=\frac{1}{r} \sin \frac{n\pi}{R}r\]

Следовательно, решение задачи вычисляется по формуле

    \[u\left(r,t\right)=\sum^{\infty}_{n=1}{\left\{\frac{2}{R}\int^R_0{\varphi (r)r \sin \frac{n\pi r}{R}}dr\right}\cdot \frac{1}{r}\cdot \sin \frac{n\pi}{R}r\cdot e^{-{\left(\frac{an\pi}{R}\right)}^2t}}\]

Ответ Искомая функция, определяющая поле температур при остывании однородного шара при заданных в задаче начальном и краевом условии имеет вид:

    \[ u\left(r,t\right)=\sum^{\infty}_{n=1}{\left\{\frac{2}{R}\int^R_0{\varphi (r)r \sin \frac{n\pi r}{R}}dr\right\}\cdot \frac{1}{r}\cdot \sin \frac{n\pi}{R}r\cdot e^{-{\left(\frac{an\pi}{R}\right)}^2t}} \]

Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.