Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнения Максвелла в интегральной форме

Система уравнений Максвелла является обобщением основных законов об электрических и электромагнитных явлениях. Она описывает абсолютно все электромагнитные явления. Являясь основой теории электромагнитного поля, эта система уравнений позволяет решать задачи, связанные с отысканием электрических и магнитных полей, создаваемых заданным распределением электрических зарядов и токов. Уравнения Максвелла были отправной точкой для создания общей теории относительности Эйнштейна. В теории Максвелла раскрывается электромагнитная природа света. Уравнения сформулированы Дж. Максвеллом в шестидесятых годах 19 века на основе обобщения эмпирических законов и развития идей ученых, исследовавших электромагнитные явления до него (Законы Кулона, Био – Савара, Ампера и, в особенности, исследования Фарадея). Сам Максвелл записал 20 уравнений с 20 неизвестными в дифференциальной форме, которые позднее были преобразованы. Современная форма Максвелла дана немецким физиком Г. Герцем и английским физиком О. Хевисайдом. Запишем уравнения используя систему единиц Гаусса.

Система уравнений Максвелла

В состав системы уравнений Максвелла входят четыре уравнения.

Первое уравнение:

    \[rot\overline{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \overline{B}}{\partial t}\qquad (1.1)\]

Это Закон Фарадея (Закон электромагнитной индукции).

где \overline{E}-напряженность электрического поля, \overline{B}-вектор магнитной индукции, c – скорость света в вакууме.

Это уравнение говорит, о том, что ротор напряженности электрического поля \overline{E} равен потоку (т.е. скорости изменения во времени) вектора магнитной индукции \overline{B} сквозь этот контур.

Уравнение (1.1) представляет собой первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

Это же уравнение можно записать в интегральной форме, тогда оно примет следующий вид:

    \[\oint_L{\overline{E}\cdot \overline{dl}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \Phi_m}{\partial t}}\ (1.2.)\]

или

    \[\oint_L{\overline{E}\cdot \overline{dl}=-\frac{1}{c}\int_S{\frac{\partial B_n}{\partial t}}}dS\]

где B_n – проекция на нормаль к площадке dS вектора магнитной индукции,

\Phi_m – магнитный поток.

Уравнения Максвелла в интегральной форме

рис. 2.

Циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура L (ЭДС индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность, ограниченную данным контуром. Знак минус по правилу Ленца означает направление индукционного тока.

Согласно Максвеллу закон электромагнитной индукции (а это именно он), справедлив для любого замкнутого контура, произвольно выбранного в переменном магнитном поле.

Смысл этого уравнения: Переменное магнитное поле в любой точке пространства создает вихревое электрическое поле.

Второе уравнение Максвелла:

    \[rot\overline{H}=\frac{4\pi}{c}\overline{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overline{D}}{\partial t}\qquad (2.1)\]

где \overline{H}-вектор магнитной напряженности, \overline{j}— плотность электрического тока, \overline{D}— вектор электрического смещения.

Данное уравнение Максвелла является обобщение эмпирического закона Био- Савара о том, что магнитные поля возбуждаются электрическими токами. Смысл второго уравнения в том, что источником возникновения вихревого магнитного поля является также переменное электрическое поле, магнитное действие которого характеризуется током смещения. ( \frac{\partial \overline{D}}{\partial t}-плотность тока смещения).

В интегральном виде второе уравнение Максвелла (Теорема о циркуляции магнитного поля) представлено следующим образом:

    \[\oint_L{\overline{H}\cdot \overline{dl}} = \frac{4\pi}{c}\int_S{(j_n+\frac{1}{4\pi}\frac{\partial D_n}{\partial t})}ds\qquad (2.2)\]

или

    \[\oint_L{\overline{H}\cdot \overline{dl}}=\sum^n_{k=1}{I_k+I_{shift}}\]

Циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и тока смещения, сцепленных с контуром.

Когда Максвелл вводил уравнения (более ста лет тому назад!), природа электромагнитного поля была не понятна. В настоящее время природа поля выяснена, и стало ясно, что I_{shift} может быть названo «током» лишь формально. По pяду расчетных соображений такое название, не придавая ему прямого физического смысла, целесообразно сохранить, что в электротехнике и делается. По этой же причине вектор D, входящий в выражение для тока смещения, называют вектором электрического смещения.

Помимо первых двух уравнений в систему уравнений Максвелла входит теорема Гаусса-Остроградского для электрического и магнитного полей:

    \[div\overline{D}=4\pi \rho \qquad (3.1)\]

и

    \[div\overline{B}=0\qquad (4.1)\]

где \rhoплотность электрического заряда.

Что в интегральном виде представляет собой следующее:

    \[\Phi_e=\oint_S{D_ndS}=4\pi q\qquad (3.2)\]

и

    \[\Phi_m=\oint_S{B_ndS}=0\qquad (4.2)\]

где \Phi_e-поток электрического смещения \overline{D},\ \Phi_m— поток магнитной индукции \overline{B} сквозь замкнутую поверхность, охватывающую свободный заряд q.

Смысл уравнения 3.2. Электрический заряд – источник электрической индукции.

Уравнение 4.2 выражает факт отсутствия свободных магнитных зарядов.

Полная система уравнений Максвелла в дифференциальном виде (характеризует поле в каждой точке пространства):

    \[rot\overline{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \overline{B}}{\partial t}\]

    \[rot\overline{H}=\frac{4\pi}{c}\overline{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overline{D}}{\partial t}\]

    \[div\overline{D}=4\pi \rho \]

    \[div\overline{B}=0\]

Полная система уравнений Максвелла в интегральном виде

Полная система уравнений Максвелла в интегральном виде (интегральная форма записи уравнений облегчает их физическую интерпретацию так ка делает их визуально ближе к известным эмпирическим законам):

    \[\oint_L{\overline{E}\cdot \overline{dl}=-\frac{1}{c}\int_S{\frac{\partial B_n}{\partial t}}}dS\]

    \[\oint_L{\overline{H}\cdot \overline{dl}}=\sum^n_{k=1}{I_k+I_{shift}}\]

    \[\Phi_e=\oint_S{D_ndS}=4\pi q\]

    \[\Phi_m=\oint_S{B_ndS}=0\]

Систему уравнений Максвелла дополняют «материальными уравнениями», связывающими векторы \overline{E,\ } \overline{D,\ }\overline{B,\ } \overline{H\ } c величинами, описывающими электрические и магнитные свойства среды.

    \[\overline{D}=\varepsilon {\varepsilon}_0\overline{E}\]

    \[\overline{B}=\mu {\mu}_0\overline{H}\]

    \[\overline{j}=\gamma \overline{E}\]

где \varepsilon – относительная диэлектрическая проницаемость, \mu – относительная магнитная проницаемость, \gamma -удельная электропроводность, {\varepsilon}_0 – электрическая постоянная, {\mu}_0 – магнитная постоянная. Среда предполагается изотропной, неферрромагнитной, несегнетоэлектрической.

На границе раздела двух сред выполняются граничные условия:

    \[D_{1n}-D_{2n}=\sigma,\ B_{1n}=B_{2n}\]

    \[H_{1\tau}-H_{2\tau}=j_{pov},\ E_{1\tau}=E_{2\tau}\]

где \sigma— поверхностная плотность свободных зарядов, n- единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 2 в 1, \tau - единичный вектор, касательный к границе, j_{pov}— проекция вектора плотности поверхностных токов проводимости на единичный вектор.

Данные уравнения выражают непрерывность нормальных составляющих вектора магнитной индукции и скачок нормальных составляющих вектора смещения. Непрерывность касательных составляющих вектора напряженностей электрического поля на границе раздела и скачок этих составляющих для напряженности магнитного поля.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Из системы уравнений Максвелла получить уравнения непрерывности токов и закон сохранения заряда.
Решение Используем уравнение:

    \[ rot\overline{H}=\frac{4\pi}{c}\overline{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overline{D}}{\partial t} \ (a) \]

Проведем для него операцию дивергенции (div или \nabla). Получим:

    \[ \nabla \left(rot\ \overline{H}\right)=0 \]

    \[ \nabla \left(\frac{4\pi}{c}\overline{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overline{D}}{\partial t}\right)=\frac{1}{c}\left(4\pi \nabla \overline{j}+\frac{\partial}{\partial t}\nabla \overline{D}\right) \ (b) \]

из системы уравнений Максвелла знаем, что \nabla \overline{D}=4\pi \rho, (c)

Подставим (с) в (b) получим:

    \[ 0=\frac{1}{c}\left(4\pi \nabla \overline{j}+\frac{\partial}{\partial t}4\pi \rho \right) \]

отсюда следует 0=\nabla \overline{j}+\frac{\partial}{\partial t}4\pi \rho

или в интегральной форме:

    \[ \oint_S{jdS}+\frac{\partial}{\partial t}\int_V{\rho dV}=0 \]

Соответственно для замкнутых изолированных областей получим:

    \[\oint_S{jdS}=0,\ \int_V{\rho dV}=const\]

Это уравнение непрерывности для тока, содержащее в себе закон сохранения заряда – один из фундаментальных принципов, который подтверждается экспериментом.

ПРИМЕР 2
Задание Доказать, что сумма токов проводимости и тока смещения, сцепленных с контуром, действительно непрерывна и, следовательно, полный ток, сцепленный с любым контуром, не зависит от выбора поверхности, натянутой на этот контур.
Доказательство Допустим, что в произвольном магнитном поле на некоторый контур натянуты две произвольные поверхности S_1 и S_2. (рис. 3)
Примеры решения уравнений Максвелла в интегральной форме

рис. 3.

Знак вектора потока \overline{D}, сцепленного с контуром, связывается правилом правого винта с направлением обхода контура L. В частности, пpи том направлении силовых линий, которое изображено на поток D сцепленный, с контуром для поверхностей, S_1 и S_2 нужно считать положительным. Рассмотрим замкнутую полость, ограниченную поверхностью S_1 + S_2. В соответствии с теоремой Гаусса для нее можно записать уравнение:

    \[ \int_{S_1+S_2}{\overline{D}d\overline{S}=q} \ (a) \]

Здесь q — сумма зарядов, попадающих в рассматриваемую полость, ограниченную поверхностью S_1 + S_2.Продифференцируем обе части этого уравнения по времени:

    \[ \frac{d}{dt}\left(\int_{S_1+S_2}{\overline{D}d\overline{S}}\right)=\frac{dq}{dt} \ (b) \]

Преобразуем раздельно левую и правую части этого уравнения. Поток вектора D сквозь замкнутую поверхность можно представить следующим образом:

    \[ \int_{S_1+S_2}{\overline{D}d\overline{S}=}\int_{S_1}{\overline{D}d\overline{S}+\int_{S_2}{\overline{D}d\overline{S}}} \ (c) \]

Линии векторного поля D входят в замкнутую полость через поверхность S_2. По определению они создают отрицательный поток. Если рассматривать поток, сцепленный с контуром, то, используя правило знаков, его необходимо считать положительным. Следовательно, выражение (c) применительно к контуру, можно записать так:

    \[ \int_{S_1+S_2}{\overline{D}d\overline{S}=}\int_{S_1(L)}{DdS-\int_{S_2(L)}{DdS}} \ (d) \]

Уясним, что собой представляет правая часть уравнения (b). Производная от полного заряда, заключенного в полости, стоящая в правой части (b), показывает, на какую величину изменяется заряд в полости в секунду. За счет чего может изменяться заряд в полости? В силу закона сохранения заряда он может изменяться только за счет неравных токов входящих и выходящих из нее. Пpи равенстве этих токов полный заряд в полости оставался бы постоянным. Причём, токи, входящие в полость, следует считать положительными (они увеличивают заряд в полости), а токи, выходящие из нее, — отрицательными. Таким образом, уравнение (b) можно представить следующим образом:

    \[\int_{S_1}{DdS-\int_{S_2}{DdS=-I_{S1}+I_{S2}}}\]

или

    \[[I + N_D]_{S_1} = [I + N_D]_{S_2}\]

Что и требовалось доказать.