Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнения электромагнитной волны

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Электромагнитными волнами называют распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное поле.

Электромагнитные волны являются поперечными: векторы \overline{E} и \overline{H} напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, и лежат в плоскости перпендикулярной вектору \overline{v} скорости распространения волны. Векторы \overline{v},\ \overline{E} и \overline{H} образуют правовинтовую систему.

Уравнения электромагнитной волны

Связь между векторами \overline{E} и \overline{H} в электромагнитной волне, распространяющейся в непроводящей среде, определяется уравнениями Максвелла, в которых \rho (плотность заряда) и \overline{j} (вектор плотности тока) полагают равными нулю:

    \[rot\overline{E}=-\frac{\partial \overline{B}}{\partial t},\ div\overline{D}=0\]

    \[rot\overline{H}=\frac{\partial \overline{D}}{\partial t},\ div\overline{B}=0\ \qquad (1)\]

где \overline{E}-напряженность электрического поля, \overline{B}-вектор магнитной индукции, \overline{H}-вектор магнитной напряженности, \overline{D}— вектор электрического смещения.

Таким образом, система уравнений (1) есть уравнения электромагнитной волны в непроводящей среде.

В случае однородной, изотропной, непроводящей среды, не обладающей ферромагнитными или сегнетоэлектрическими свойствами уравнения электромагнитной волны будут иметь вид:

    \[\overline{D}=\varepsilon {\varepsilon}_0\overline{E},\ \overline{B}=\mu {\mu}_0\overline{H}\]

    \[rot\overline{E}=-\mu {\mu}_0\frac{\partial \overline{H}}{\partial t},\ div\overline{E}=0\]

    \[rot\overline{H}=\varepsilon {\varepsilon}_0\frac{\partial \overline{E}}{\partial t},\ div\overline{H}=0\ \qquad (2)\]

где {\varepsilon}_0,\ {\mu}_0 – электрическая и магнитная постоянные, \varepsilon, \mu – относительные электрическая и магнитная проницаемость среды.

Векторы \overline{E} и \overline{H} поля электромагнитной волны можно выразить через скалярный \varphi и векторный \overline{A} потенциалы. Тогда уравнения электромагнитной волны будут иметь вид:

    \[\overline{E}=-\frac{\partial \overline{A}}{\partial t}-grad\varphi ,\ \overline{H}=\frac{1}{\mu {\mu}_0}rot\overline{A}\]

    \[\Delta \varphi =\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{{\partial}^2\varphi}{\partial t^2},\ \Delta \overline{A}=\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{{\partial}^2\overline{A}}{\partial t^2}\]

    \[\Delta \overline{E}=\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{{\partial}^2\overline{E}}{\partial t^2},\ \Delta \overline{H}=\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{{\partial}^2\overline{H}}{\partial t^2}, \qquad (3)\]

где \Delta— оператор Лапласа, c=\frac{1}{\sqrt{{\varepsilon}_0{\mu}_0}}=3\cdot {10}^8\frac{m}{c},\ div\ \overline{A}=0.

Каждая из проекций векторов \overline{A},\ \overline{E},\ \overline{H} на оси прямоугольной декартовой системы координат и \varphi удовлетворяют волновому уравнению(4):

    \[\Delta S_i=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial}^2s_i}{\partial t^2}\ \left(i=1,2,\dots ,10\right),\ \qquad (4)\]

где v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon \mu}} – фазовая скорость электромагнитной волны, s_1=\varphi,\ s_2=A_x,\ s_3=A_y,\ \dots ,\ s_{10}=H_z. В вакууме (\varepsilon = \mu =1).\ v=c. Для всех сред кроме ферромагнитных, \mu \approx 1 и v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon}}.

Определение и уравнение плоской электромагнитной волны

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Электромагнитную волну называют плоской, если векторы \overline{E} и \overline{H} зависят только от времени и одной декартовой координаты.

Для плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси Ox правовинтовой системы координат, уравнения электромагнитной волны запишутся в следующем виде:

    \[E_x=H_x=0\]

    \[\frac{\partial E_y}{\partial x}=-\mu {\mu}_0\frac{\partial H_z}{\partial t},\ \frac{\partial E_z}{\partial x}=-\mu {\mu}_0\frac{\partial H_y}{\partial t}\]

    \[\frac{\partial H_y}{\partial x}=-\varepsilon {\varepsilon}_0\frac{\partial E_z}{\partial t},\ \frac{\partial H_z}{\partial x}=-\varepsilon {\varepsilon}_0\frac{\partial E_y}{\partial t}\]

    \[H_z=\sqrt{\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0}{\mu {\mu}_0}}E_y,\ H_y=-\sqrt{\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0}{\mu {\mu}_0}}E_z\]

    \[\overline{E}=\sqrt{\frac{\mu {\mu}_0}{\varepsilon {\varepsilon}_0}}\ \overline{H}\cdot \overline{n}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon \mu}} rot \overline{A} \times \overline{n},\qquad (5)\ \]

где \overline{n} – единичный вектор, проведенный в направлении распространении волны. Мы видим, что плоская электромагнитная волна может быть полностью определена с помощью одного лишь векторного потенциала \overline{A}. В вакууме:

    \[H_y=-\sqrt{\frac{{\varepsilon}_0}{{\mu}_0}}E_z,\ H_z=\sqrt{\frac{{\varepsilon}_0}{{\mu}_0}}E_y\ \qquad (6)\]

    \[\sqrt{{\varepsilon}_0}E=\sqrt{{\mu}_0}\ H\ \qquad (7)\]

Определение и уравнение монохроматической электромагнитной волны

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Электромагнитную волну называют монохроматической, если компоненты векторов \overline{E} и \overline{H} электромагнитного поля волны совершают гармонические колебания одинаковой частоты, называемой частотой волны. Произвольная немонохроматическая волна может быть представлена в виде совокупности монохроматических волн.

Напряженности электрического и магнитного полей плоской монохроматической волны часто представляют в виде:

    \[\overline{E}=\overline{E_0}{ \cos \left(\overline{k}\overline{r}-wt\right)},\ \overline{H}=\overline{H_0}\cdot { \cos \left(\overline{k}\overline{r}-wt\right)} \qquad (8)\]

где k=w/v – волновое число.

Очевидно, что и комплексные функции эквивалентны выражению (8)

    \[\overline{E}\left(r,t\right)=\overline{E_0}{\exp \left(i\overline{k}\overline{r}-iwt\right)},\ \overline{H}\left(r,t\right)=\overline{H_0}{exp \left(i\overline{k}\overline{r}-iwt\right)} \qquad (9)\]

Здесь \overline{k} — волновой вектор, а его модуль равен величине k = \omega /r.

Электрическое и магнитное поля плоской волны направлены перпендикулярно друг-другу.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти средний вектор Пойнтинга у плоской электромагнитной волны \overline{E}={\overline{E}}_m \cos (wt-\overline{k}\overline{r}), если волна распространяется в вакууме.
Решение По определению вектор Пойнтинга:

    \[\overline{S}=\left[\overline{E}\times \overline{H}\right]\qquad (1.1)\]

Запишем средний вектор Пойнтинга, т.к \overline{E}\bot \overline{H}:

    \[<S>=\frac{\left|\overline{S}\right|}{2}=\frac{\left|E\right|\left|H\right|}{2}\qquad (1.2)\]

Для плоской электромагнитной волны E_x=H_x=0, тогда положим:

    \[E_y=E \cos \left(wt-kx+{\alpha}_1\right),\qquad (1.3)\]

    \[H_z=H \cos \left(wt-kx+{\alpha}_2\right)\qquad (1.4)\]

Запишем уравнения полоской электромагнитной волны:

    \[\frac{dE_y}{dx}=-\mu {\mu}_0\frac{dH_z}{dt},\qquad (1.5)\]

    \[\frac{dH_z}{dx}=-\varepsilon {\varepsilon}_0\frac{dE_y}{dt}\qquad (1.6)\]

Продифференцируем (1.3) по x:

    \[\frac{dE_y}{dx}=\frac{d}{dx}\left(E \cos \left(wt-kx+б_1\right)\right)=-Ek \sin \left(-wt+kx-{\alpha}_1\right)\qquad (1.7)\]

Продифференцируем (1.4) по t, получим:

    \[\frac{dH_z}{dt}=Hw \sin (-wt+kx-{\alpha}_2)\qquad (1.8)\]

Подставим (1.7) и (1.8) в (1.5), получим:

    \[-Ek \sin \left(-wt+kx-{\alpha}_1\right)=-\mu \mu_0Hw  \sin ( -wt+kx-{\alpha}_2)\qquad (1.9)\]

    \[H=\frac{kE}{{\mu}_0\mu w} \qquad (1.10)\]

Подставим (1.10) в (1.1), затем в (1.2), получим:

    \[<S>=\frac{1}{2}E^2\frac{k}{{\mu}_0\mu w}\]

Так как волна распространяется в вакууме, то запишем:

    \[\mu =1\]

    \[{\mu}_0{\varepsilon}_0=\frac{1}{c^2},\ {\mu}_0=\frac{1}{c^2{\varepsilon}_0}\]

    \[<S>=\frac{1}{2}E^2\frac{k\cdot c^2{\varepsilon}_0}{w}\]

Ответ Средний вектор Пойнтинга у плоской электромагнитной волны:

    \[ <S> =\frac{1}{2}E^2\frac{k\cdot c^2{\varepsilon}_0}{w} \]

ПРИМЕР 2
Задание Плоская электромагнитная волна из первой среды падает на границу под некоторым углом \alpha, частично проникает во вторую среду и отражается от поверхности раздела двух сред. Считать \mu \approx 1 .

1) Определить, как изменяется частота электромагнитной волны при отражении и преломлении.

2) Доказать, что лучи падающий, отраженный и преломленный лежат в одной плоскости.

3) Найти законы отражения и преломления электромагнитной волны.

4) Определить формулы связи амплитудных значений векторов поля \overline{E} (при отражении и преломлении электромагнитных волн (при нормальном падении).

Уравнения электромагнитной волны

рис. 1

Решение Используем уравнение для напряженности электромагнитной волны из системы уравнений (9), запишем векторы напряженности падающей \overline{E_1}, отраженной \overline{E_2} и преломленной \overline{E_3} волн:

    \[\overline{E_1}=\overline{E_{10}}e^{i\left(\overline{k_1}\overline{r} - w_1t\right)}\qquad (2.1)\]

    \[\overline{E_2}=\overline{E_{20}}e^{i\left(\overline{k_2}\overline{r} - w_2t\right)}\qquad (2.2)\]

    \[\overline{E_3}=\overline{E_{30}}e^{i\left(\overline{k_3}\overline{r} - w_3t\right)}\qquad (2.3)\]

Нужно найти связь между амплитудами, частотами колебаний w_1,\ w_2,\ w_3 и волновыми векторами падающей \overline{k_1}, отраженной \overline{k_2} и преломленной \overline{k_3} волн. Воспользуемся непрерывностью тангенциальной составляющей поля на границе раздела двух сред:

    \[E_{1t} +E_{2t}=E_{3t}\qquad (2.4)\]

Проанализируем равенство (2.4) с учетом (2.1), (2.2), (2.3) в следующем порядке:

1)Фиксируем некоторую точку на границе раздела, выделяем одну временную зависимость в равенстве (2.4), записанном в проекции на некоторую ось:

    \[Ae^{iw_1t}+Be^{-iw_2t}=Ce^{-iw_3t}\qquad (2.5)\]

Это равенство должно выполняться тождественно при всех значениях t, что возможно лишь если: w_1=w_2=w_3 (2.6). Получаем: Частота при отражении и преломлении не изменяются.

2) Разделив равенство (2.4) на общий временной множитель, получим выражение вида:

    \[ae^{i\overline{k_1}\overline{r}}+{be}^{i\overline{k_2}\overline{r}}=ce^{i\overline{k_3}\overline{r}}\qquad (2.6)\]

Равенство (2.6) должно выполняться для всех точек границы раздела, что возможно лишь при условии:

    \[\overline{k_1}\overline{r}=\overline{k_2}\overline{r}=\overline{k_3}\overline{r}\qquad (2.7)\]

Пусть \overline{r}\bot \overline{k_1}, тогда \overline{r}\bot \overline{k_2} и \overline{r}\bot \overline{k_3}, откуда следует, что векторы \overline{k_1},\overline{k_2},\overline{k_3} лежат в одной плоскости.

3) Плоскость векторов \overline{k_1},\overline{k_2},\overline{k_3} совпадает с плоскостью Oxz (рис. 1). Выберем начало вектора \overline{r} на оси Ox. Из формулы (2.7) следует:

    \[\overline{k_1} \sin \alpha =\overline{k_2} \sin \beta =\overline{k_3} \sin \gamma \qquad (2.8)\]

Используем формулу, связывающую волновой вектор с частотой (k=\frac{w}{v}),получим:

    \[k_1=\frac{w}{v_1},\ k_2=\frac{w}{v_1},k_3=\frac{w}{v_2}\qquad (2.9)\]

Отсюда получим законы отражения (2.10) и преломления (2.11):

    \[\alpha =\beta\qquad (2.10)\]

    \[\frac{ \sin \alpha}{ \sin \gamma}=\frac{v_1}{v_2}=n_{1,2} \qquad (2.11)\]

n_{1,2} – показатель преломления.

4) Пусть волна падает перпендикулярно поверхности раздела (рис. 2), причем вектор \overline{E_1} направлен по оси Ox. (Тогда вектор \overline{H_1} направлен по оси Oy.)

Уравнения плоской электромагнитной волны

рис. 2

Используя уравнения для плоской электромагнитной волны, запишем:

    \[E_{1x}=E_{10}e^{i\left(k_1z-wt\right)},\ E_{1y}=E_{1z}=0\]

    \[H_{1y}=\sqrt{\frac{{\varepsilon}_1{\varepsilon}_0}{{\mu}_0}}E_{1x},H_{1x}=H_{1z}=0\ \]

Эти формулы определяют поле падающей волны. Для отраженной волны, распространяющейся в обратном направлении имеем:

    \[E_{2x}=E_{20}e^{i\left(k_2z+wt\right)},\ E_{2y}=E_{2z}=0\]

    \[H_{2y}=-\sqrt{\frac{{\varepsilon}_1{\varepsilon}_0}{{\mu}_0}}E_{2x},H_{2x}=H_{2z}=0\ \]

Преломленная волна запишется в виде:

    \[E_{3x}=E_{30}e^{i\left(k_3z-wt\right)},\ E_{3y}=E_{3z}=0\]

    \[H_{3y}=\sqrt{\frac{{\varepsilon}_2{\varepsilon}_0}{{\mu}_0}}E_{3x},H_{3x}=H_{3z}=0\ \]

Исходя из непрерывности тангенциальной составляющей вектора \overline{E} и тангенциальной составляющей вектора \overline{H} на плоскости z=0 к уравнениям:

    \[E_{10}+E_{20}=E_{30}\]

    \[\sqrt{{\varepsilon}_1}E_{10}-\sqrt{{\varepsilon}_2}E_{20}=\sqrt{{\varepsilon}_3}E_{30}\]

Решая систему находим:

    \[E_{20}=\frac{1-n_{1,2}}{1+n_{1,2}}E_{10},\ E_{30}=\frac{2}{1+n_{1,2}}E_{10}\qquad (2.12)\]

Ответ 1) Частота при отражении и преломлении не изменяются.

2) Доказано, что волновые векторы \overline{k_1},\overline{k_2},\overline{k_3} лежат в одной плоскости, следовательно, лучи падающий отраженный и преломленный лежат в одной плоскости.

3) Получены законы

\alpha=\beta (отражения).

\frac{ \sin \alpha}{ \sin \gamma}=\frac{v_1}{v_2}=n_{1,2} (преломления)

4) Формулы (2.12) есть формулы связи амплитудных значений векторов поля при отражении и преломлении электромагнитных волн (при нормальном падении).