Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение Эйнштейна

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение Эйнштейна – та самая знаменитая формула релятивистской механики – устанавливает связь между массой покоящегося тела и его полной энергией:

    \[E=mc^2 \]

Здесь Е – полная энергия тела (так называемая энергия покоя), m – его масса, а cскорость света в вакууме, которая приблизительно равна 3 \cdot 10^{8} м/с.

Уравнение Эйнштейна

Формула Эйнштейна утверждает, что масса и энергия эквивалентны друг другу. Это значит, что любое тело обладает внутренней энергией – энергией покоя – пропорциональной его массе. В свое время природа затратила энергию, чтобы собрать это тело из элементарных частиц материи, и энергия покоя служит мерой этой работы.

Уравнения Эйнштейна

Действительно, при изменении внутренней энергии тела его масса изменяется пропорционально изменению энергии:

    \[\Delta m= \frac{\Delta E}{c^2} m_{rel} =\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]

Например, при нагреве тела его внутренняя энергия возрастает, и масса тела увеличивается. Правда, эти изменения настолько малы, что в повседневной жизни мы их не замечаем: при нагреве 1 кг воды на 100^{\circ} C она станет тяжелее на 4,7•10-12 кг.

Кроме того, масса может преобразовываться в энергию, и наоборот. Преобразование массы в энергию происходит при ядерной реакции: масса ядер и частиц, образовавшихся в результате реакции, меньше, чем масса столкнувшихся ядер и частиц, а получившийся дефект массы превращается в энергию. А при фотонном рождении несколько фотонов (энергия) превращаются в электрон, вполне материальный и имеющий массу покоя.

Уравнение Эйнштейна для движущегося тела

Для движущегося тела уравнений Эйнштейна выглядит:

    \[E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]

В этой формуле v – скорость, с которой движется тело.

Из последней формулы можно сделать несколько важных выводов:

1) Каждое тело, обладает определенную энергию, которая больше нуля. Поэтому \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}>0, а значит, v

2) Некоторые частицы – например, фотоны – не имеют массы, а вот энергия у них есть. При подстановке m=0 в последнюю формулу мы получили бы не соответствующее действительности Е=0, если бы не одно «но»: эти частицы движутся со скоростью света с=3•108 м/с. Знаменатель формулы Эйнштейна при этом обращается в нуль: она не подходит для расчёта энергии безмассовых частиц.

Формула Эйнштейна показала, что в веществе содержится колоссальный запас энергии – и тем самым сыграла неоценимую роль в развитии ядерной энергетики, а также подарила военной промышленности атомную бомбу.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание {\pi}^0-мезон имеет массу покоя 2,4 \cdot 10^{-28} кг и движется со скоростью 0,8с. Какова его кинетическая энергия?
Решение Найдем скорость \pi^0-мезона в единицах СИ:

v=0,8c =0,8\cdot 3\cdot 10^8 =2,4\cdot 10^8 м/с

Рассчитаем энергию покоя \pi^0-мезона по формуле Эйнштейна:

E_0 =mc^2 =2,4\cdot 10^{-28} \cdot (3\cdot 10^8 )^2 =2,16\cdot 10^{-11} Дж

Полная энергия \pi^0-мезона:

E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} =\frac{2,4\cdot 10^{-28} \cdot (3\cdot 10^8 )^2}{\sqrt{1-\frac{2,4\cdot 10^8}{3\cdot 10^8}}} =3,6\cdot 10^{-11} Дж

Полная энергия \pi^0-мезона состоит из энергии покоя и кинетической энергии. Поэтому кинетическая энергия:

E_{k} =E-E_0 =3,6\cdot 10^{-11} -2,16\cdot 10^{-11} =1,44\cdot 10^{-11} Дж

Ответ E_{k} =1,44\cdot 10^{-11} Дж
ПРИМЕР 2
Задание При радиоактивном распаде атома урана массой 232,03714 а.о.м. образовались атом тория массой 228,02872 а.о.м. и атом гелия массой 4,0026 а.о.м. Какая энергия выделилась при распаде?
Примеры решения уравнения Эйнштейна
Решение Найдём, насколько уменьшилась масса вещества после распада (дефект массы):

\Delta m =m_{U} -(m_{Th} +m_{He} )=232,03714-(228,02872+4,0026)=0,00581 а.о.м.

В 1 а.о.м. 1,6606•10-27 кг. Переведем дефект массы в килограммы:

0,00581 а.о.м. = 9,64 \cdot 10^{-30} кг

Энергию, в которую превратилась эта утерянная масса, найдём по формуле Эйнштейна:

E_0 =mc^2 =9,64\cdot 10^{-30} \cdot (3\cdot 10^8 )^2 =8,68\cdot 10^{-13} Дж

Ответ E_0 = 8,68\cdot 10^{-13} Дж.