Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение вращательного движения

Описание вращательного движения

Рассмотрим движение материальной точки вокруг неподвижной оси. Точка движется на постоянном расстоянии от оси, таким образом, описывая окружность, центр которой О находится на оси вращения.

Движение точки, безусловно, можно описать с помощью второго закона Ньютона: \overline{F}=m\overline{a}. Однако это не очень удобно: во-первых, во втором законе будут фигурировать две координаты, х и у, в то время как у нашей точки только одна степень вольности. Поэтому в качестве координаты удобнее использовать пройденный угол \varphi (как если бы мы перешли из декартовой системы координат в полярную, и радиус r всегда оставался бы постоянным). Во-вторых, придется находить силы реакции оси вращения, что может усложнить задачу.

Поэтому поступим следующим образом: разложим силу, действующую на точку, на две составляющие: нормальную \overline{F}_{norm}, направленную к центру окружности, и тангенциальную \overline{F}_{\tau}, направленную по касательной к траектории движения. Скалярные значения этих сил легко найти с помощью геометрии: F_{norm} =F\cdot \cos \varphi ,\ F_{\tau} =F\cdot \sin \varphi.

Скорость точки \overline{v} направлена тангенциально. Нормальной составляющей у скорости нет – в направлении оси точка не движется.

Соответственно и ускорение разложится на две составляющие: нормальное \overline{a}_{norm} и тангенциальное \overline{a}_{\tau}. Скалярные значения этих ускорений можно найти за формулами: a_{norm} =\frac{v^2}{r} ,\ a_{\tau} =\varepsilon r.

Уравнение вращательного движения

\varepsilon – угловое ускорение, которое показывает, как циклическая скорость изменяется во времени: \varepsilon = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}. Циклическая скорость, в свою очередь, показывает изменение во времени угла поворота: \omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}.

Спроектируем второй закон Ньютона на касательную к траектории. Тогда он запишется для тангенциальных составляющих. Нормальное ускорение нам учитывать не нужно.

    \[F_{\tau} =ma_{\tau} \]

    \[F \sin \varphi =m \varepsilon r\]

Мы получили запись второго закона Ньютона для вращательного движения.

Уравнение вращательного движения

Домножим обе части последнего выражения на r:

    \[Fr \sin \varphi =mr^2 \varepsilon \]

mr^2 =J – это момент инерции точки относительно оси. Величина Fr \sin \varphi обозначается М и называется моментом силы – она показывает, какое ускорение придаст точке приложенная к ней сила.

Тогда последнее уравнение примет вид:

    \[M=J\varepsilon \]

Это и есть уравнение вращательного движения для материальной точки.

Уравнение используется для расчёта самых различных механизмов, от миниатюрных часовых до автопрома и лопаток турбин. Однако следует помнить: твёрдые тела не рассматривают, как материальные точки. Поэтому момент инерции для тел считают с учетом их формы. Также этот закон лежит в основе теории сопротивления материалов, позволяя оценить, выдержит ли конструкция нагрузку.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Автомобиль проезжает поворот с радиусом кривизны R = 50 м. Уравнение его движения имеет вид: s = 10 + 10 t - 0,5t^2. Найдите скорость автомобиля, полное ускорение и его составляющие в момент времени 5 с, длину пройденного пути s и модуль перемещения l за 10 секунд от начала движения.
Решение 1) Возьмем производную от уравнения движения и вычислим скорость:

    \[v=s'=(10+10t- 0,5t^2 )'=10-t\]

    \[v (t=5c)=10-5=5\ m/c\]

2) Возьмем производную от скорости и вычислим тангециальное ускорение:

a_{\tau} =v'=(10-t)'=-1 м/с2.

3) Нормальная составляющая ускорения:

a_{norm} =\frac{v^2}{r} =\frac{5^2}{50} =0,5 м/с2.

4) Найдем полное ускорение с учетом того, что его составляющие перпендикулярны друг другу:

a= \sqrt{a^2_{\tau} +a^2_{norm}} =\sqrt{(-1)^2 +0,5^2} =1,12 м/с2.

5) Путь автомобиля по криволинейной траектории за 10 с:

    \[s(t=10c)=10+10t- 0,5t^2 =10+10\cdot 10- 0,5\cdot 10^2 =60\ m\]

6) Модуль перемещения автомобиля, как это видно из рисунка:

\Delta r =2R \sin \frac{\alpha}{2} =2R \sin \frac{s}{R\cdot 2} =2\cdot 50 \cdot \sin \frac{60}{50 \cdot 2} =56,5 м.

Пример 1, уравнение вращательного движения
Ответ v=5 м/с, a_{\tau} =-1 м/с ^{2}, a_{norm} =0,5 м/с ^{2}, a = 1,12 м/с ^{2}, s = 60 м, \Delta r  = 56,5 м.
ПРИМЕР 2
Задание Найти момент силы вращающегося обода, если его момент инерции равен 10 кг•м2. Обод вращается равноускоренно. Через 2 с после начала движения угол между вектором полного ускорения лежащей на ободе точки и вектором линейной скорости равен 60^{\circ}.
Решение Найдем проекции полного управления на тангенциальное и нормальное направление в момент времени t = 2 с. Эти проекции равны модулям соответствующих ускорений:

    \[a_{\tau} =\frac{v}{t} \]

    \[a_{norm} =\frac{v^2}{r} \]

Пример 2, уравнение вращательного движения

Как видно из рисунка, отношение составляющих ускорения:

    \[\frac{a_{norm}}{a_{\tau}} =\text{tg}\beta_1 =\frac{vt}{R} \]

А так как \frac{v}{R} =\omega — угловая скорость, то:

    \[\text{tg}\beta_1 =\omega t=\varepsilon t^2 \]

Найдем угловое ускорение:

    \[\varepsilon = \frac{\text{tg}\beta_1}{t^2} =\frac{\text{tg} 60^{\circ}}{2^2} =0,43\;\  c^{-2} \]

Используем основное уравнение вращательного движения для материальной точки:

    \[M=J\varepsilon =10 \cdot 0,43=4,3 \frac{kg \cdot m^2}{c^2} \]

Ответ M=4,3 \frac{kg \cdot m^2}{c^2}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.