Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение теплового баланса

Определение и уравнение теплового баланса

Одним из основных законов физики и в частности термодинамики является закон сохранения и превращения энергии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если в изолированной системе тел не происходит ни каких превращений энергии кроме теплообмена, то количество теплоты, отданное телами, внутренняя энергия которых уменьшается, равно количеству теплоты, полученному телами, внутренняя энергия которых, увеличивается. При этом суммарная энергия системы не изменяется и тогда первое начало термодинамики записывается в следующем виде:

    \[\triangle U=\sum^n_{i=1}{\triangle U_i=0}\]

Это уравнение называют уравнением теплового баланса.

Или по другому: Суммарное количества теплоты, которое выделяется в теплоизолированной системе равно количеству теплоты (суммарному), которое в этой системе поглощается.

    \[Q_1+Q_2+Q_2+\dots +Q_n=Q'_1+Q'_2+Q'_2+\dots Q'_k\]

По своему смыслу, уравнение теплового баланса – это закон сохранения энергии для процессов теплообмена в термоизолированных системах.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В медный калориметр массой m_к=0,2 кг cо льдом массы m_l=1,5 кг, имеющих температуру T_{ml}=270 K, пустили пар при температуре T_p=390 K, после чего в калориметре установилась температура \theta =320 K. Определить массу m_p пара. Считать систему лед-калориметр-пар изолированной.
Решение Сделаем рисунок
Уравнение теплового баланса

рис. 1.

По условию задачи теплообмен системы лед-калориметр-пар с внешней средой не происходит. Поэтому внутренняя энергия системы не изменяется. Значит все процессы происходящие в системе можно описать уравнением теплового баланса с учетом агрегатных превращений. Кроме того, в результате теплового взаимодействия в калориметре останется вода ( если судить по температуре, которая установилась по условию задачи {\theta =320K={47}^{\circ}C}). В системе пар отдает теплоту (его внутренняя энергия уменьшается), а калориметр и лед теплоту получают (их внутренняя энергия увеличивается).

Добавим к исходным данным, необходимые нам табличные данные:

Удельная теплоемкость пара c_p=1,7{\cdot 10}^3 Дж/кгК,

Удельная теплоемкость воды c_v=4,2\cdot {10}^3 Дж/кгК,

Удельная теплоемкость льда c_l=2,1\cdot {10}^3 Дж/кгК,

Удельная теплоемкость меди c_m=3,8\cdot {10}^3 Дж/кгК,

Удельная теплота парообразования воды r=2,1\cdot {10}^6 Дж/кг

Удельная теплота плавления льда \lambda =3,3\cdot {10}^5 Дж/кг

При решении задачи необходимо отследить и описать все стадии изменения внутренней энергии тел.

1. Пар, отдавая теплоту, остывает от температуры T_p до T_{kond}=373 К ( температура конденсирования водяного пара при нормальных условиях).

2. Пар конденсируется при постоянной температуре T_{kond}.

3. Полученная из пара вода остывает до температуры \theta.

В результате внутренняя энергия пара уменьшается на:

    \[\triangle U_1=Q_{otd}=m_pc_p(T_p-T_{cond})+\ m_pr+m_pc_v(T_{cond}-\theta )\]

4. Лед, получая теплоту, нагревается от T_{ml} до T_{plav}=273 К ( температура плавления льда при нормальных условиях).

5. Лед плавится.

6. Вода (полученная изо льда) нагревается до температуры \theta.

В результате внутренняя энергия льда увеличивается на:

    \[\triangle U_2=Q'_{poluch}=m_lc_l(T_{plav}-T_{ml})+\ m_l\lambda +m_lc_v(\theta -T_{plav})\]

7. Калориметр, принимая теплоту, нагревается от T_{ml} до \theta.

В результате его внутренняя энергия возрастает на:

    \[\triangle U_3=Q''_{poluch}=m_mc_m({\theta -T}_{ml})\]

Составим уравнение теплового баланса:

\triangle U_1=\triangle U_2+\triangle U_3 или Q_{otd}=Q'_{poluch}+Q''_{poluch}

Для описания, имеющегося у нас процесса, уравнение теплового баланса получит вид:

    \[ m_pc_p(T_p-T_{cond})+m_pr+m_pc_v(T_{cond}-\theta ) = \]

    \[ =m_lc_l(T_{plav}-T_{ml})+m_l \lambda+m_lc_v({\theta-T}_{plav})+m_mc_m({\theta-T}_{ml}) \]

, откуда

    \[ m_p=\frac{m_lc_l(T_{plav}-T_{ml})+\ m_l \lambda+m_lc_v({\theta-T}_{plav})+m_mc_m({\theta-T}_{ml})}{c_p(T_p-T_{cond})+r+c_v(T_{cond}-\theta)} =0,342\ kg \]

Ответ Масса пара приблизительно 342 гр.
ПРИМЕР 2
Задание В сосуд объемом V с теплонепроницаемыми стенками заполненный газом с молярной массой \mu, температурой T_1 и давлением р, бросили стальной шарик массой m и температурой T_2\ (T_1<T_2). Найти изменение энтропии газа, если считать процессы обратимыми.

Уравнение теплового баланса, формула
Решение Будем считать, теплоемкость стали c_c, и теплоемкость газа c_g — табличные величины и нам известны.

В нашем случае процессы обратимы, следовательно, изменение энтропии можно записать следующим образом:

    \[\triangle S=\int{\frac{\delta Q}{T}}\]

Мы в системе имеем следующие процессы:

1. Газ нагревается от температуры T_1 до температуры \theta, получая теплоту.

    \[\delta Q=dQ=cmdT\]

    \[\triangle S=\int{\frac{\delta Q}{T}}=\int^{\theta}_{T_1}{\frac{\delta Q}{T}}=\int^{\theta}_{T_1}{\frac{cmdT}{T}}=cm\cdot ln(\frac{\theta}{T})\]

В полученном уравнении еще необходимо определить температуру, которая установится в системе и массу газа в сосуде.

Массу газа найдем из уравнения Менделеева — Клапейрона:

    \[pV=\frac{m_g}{\mu }RT\ \]

    \[m_g=\frac{pV\mu }{RT}\]

Чтобы найти \theta, опишем процесс нагревания газа и остывания шарика и используем уравнение теплового баланса.

    \[Q'_{poluch}=m_gc_g(\theta -T_1)\]

2. Шарик остывает, отдавая тепло.

    \[Q_{otd}=mc_c{(\theta -T}_2)\]

Тогда можно записать уравнение теплового баланса:

    \[Q'_{poluch}+Q_{otd}=0\]

    \[\frac{pV\mu }{RT}c_g\left(\theta -T_1\right)+mc_c{(\theta -T}_2)=0\]

    \[\theta =\frac{(pV\mu c_g+mc_cRT_2)T_1}{pV\mu c_g+mc_cRT_1}\]

Ответ Изменение энтропии газа в описанном процессе равно:

\triangle S=c\frac{pV \mu}{RT}\cdot ln(\frac{\theta}{T}), где \theta=\frac{(pVмc_g+mc_cRT_2)T_1}{pV \mu c_g+mc_cRT_1}